有红、黄、白、黑球各两个，从中取五个作排列，同色不相邻，共有几种排列法？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  有红、黄、白、黑球各两个，从中取五个作排列，同色不相邻，共有几种排列法？

解  先不考虑每种球最多只有两个的限制。

    取定排列中第一个球，有 4 种选择。第二个球不能与第一个球同色，有 3 种选择。

第三个球不能与第二个球同色，有 3 种选择。第四个球不能与第三个球同色，有 3 种选择。

第五个球不能与第四个球同色，有 3 种选择。

    所以，这时共有 4×3×3×3×3 = 324 种排列法。

    下面考虑从上面的排列中，扣除有一种球超过两个的情形。

    有一种球超过两个，这种球数必定是三个，而且只能放在排列中第一、三、五的位置。

先从 4 种球中，选定一种放一、三、五位置的球，有 4 种选择。再从非第一种的 3 种球中，

选一种放第二个位置的球，有 3 种选择。再从非第一种的 3 种球中，选一种放第四个位置的

球，有 3 种选择。

    可见，有一种球超过两个的情形，共有 4×3×3 = 36 种排列法。

   所以，符合本题要求的排列法，共有 324 - 36 = 288 种。