最近我在“谈谈连乘积和哈代_李特伍德孪生素数公式的关系”和“谈谈拉曼纽扬系数”给出了用连乘积表示n以内素数的个数和用连乘积表示n以内孪生素数的个数推导出了哈代_李特伍德孪生素数公式以及偶数所含素数对个数的公式。现把这种方法用更简洁式子介绍如下:
n以内素数的个数为:
n p-1
π(n)=── Π──── 其中p和下面的p都为奇素数
2 p
n以内孪生素数的个数:
n p-2 n p-1 p-2
Z(n)=──Π──── =──Π──── Π────
2 p 2 p p-1
n p-1 p-1 p (p-2)
=──Π──── Π──── Π────
2 p p (p-1)^2
n
∵π(n)~──
ln〔n〕
1 1 p-1
∴────~──Π────
ln〔n〕 2 p
p (p-2) n
Z(n)~2Π──── *────
(p-1)^2 [ln(n)]^2
上面的式子就是哈代_李特伍德孪生素数公式。
同样道理还可以得出哈代_李特伍德关于偶数所含素数对个数的公式为:
p (p-2) n p-1
D(n)~2Π──── * ──── Π──── 后面的连乘积中p|n
(p-1)^2 [ln(n)]^2 p-2