【旧帖重提】梅腾斯公式推广

白新岭

天山草 发表于 2016-11-24 20:42
公式【2】中的 c 系数按下式计算：

n值        常数
\(C_1\)        0.6601618159599460
\(C_2\)        0.8198024467614170
\(C_3\)        0.6708911371764450
\(C_4\)        0.8402588276900470
\(C_5\)        0.6995361099589560
\(C_6\)        0.9136964989279490
\(C_7\)        0.8821704211013320
\(C_8\)        0.8218582224408050
\(C_9\)        0.6728058758352150
\(C_{10}\)        0.8430124893896950
\(C_{11}\)        0.7021951679445290
\(C_{12}\)        0.9177718695843230
\(C_{13}\)        0.8868498480188450
\(C_{14}\)        0.8271250132350180
\(C_{15}\)        0.6781131738061740
\(C_{16}\)        0.8513854007840780
\(C_{17}\)        0.7112251442524340
\(C_{18}\)        0.9336034327102970
\(C_{19}\)        0.9083474490046500
\(C_{20}\)        0.8571665659730140
\(C_{21}\)        0.7187089112867240
\(C_{22}\)        0.9500455911008540
\(C_{23}\)        0.9382492774747350
\(C_{24}\)        0.9201934432369970
\(C_{25}\)        0.8898283297453090
\(C_{26}\)        0.8307658474580030
\(C_{27}\)        0.6821664445538960
\(C_{28}\)        0.8586062036883280
\(C_{29}\)        0.7202795644250320
\(C_{30}\)        0.9528429983828730
\(C_{31}\)        0.9421288968438000
\(C_{32}\)        0.9258107097954760
\(C_{33}\)        0.8983614876133240
\(C_{34}\)        0.8443332548908120
\(C_{35}\)        0.7034026882774320
\(C_{36}\)        0.9195139241255640
\(C_{37}\)        0.8887196732519100
\(C_{38}\)        0.8290758375519050
\(C_{39}\)        0.6799166849994410
\(C_{40}\)        0.8539621147870720
\(C_{41}\)        0.7137003105404700
\(C_{42}\)        0.9373848986590960
\(C_{43}\)        0.9126902729532780
\(C_{44}\)        0.8620851002104090
\(C_{45}\)        0.7237580682496410
\(C_{46}\)        0.9584171920505810
\(C_{47}\)        0.9489345908908210
\(C_{48}\)        0.9342622708223040
\(C_{49}\)        0.9090250723726380
\(C_{50}\)        0.8578440874751090
\(C_{51}\)        0.7193123401330190
\(C_{52}\)        0.9508952248698260
\(C_{53}\)        0.9391457559795230
\(C_{54}\)        0.9211359721846420
\(C_{55}\)        0.8908090321147870
\(C_{56}\)        0.8317551646356460
\(C_{57}\)        0.6830483166903980
\(C_{58}\)        0.8598175337111590
\(C_{59}\)        0.7213952196051600
\(C_{60}\)        0.9544745190776820
\(C_{61}\)        0.9439263545810700
\(C_{62}\)        0.9277969619647310
\(C_{63}\)        0.9005522356215030
\(C_{64}\)        0.8467034930792770
\(C_{65}\)        0.7057104088105860
\(C_{66}\)        0.9231043337019890
\(C_{67}\)        0.8929423508336080
\(C_{68}\)        0.8340023908475160
\(C_{69}\)        0.6851458869512320
\(C_{70}\)        0.8628439531856840
\(C_{71}\)        0.7243335054831620
\(C_{72}\)        0.9590226406706760
\(C_{73}\)        0.9492555368387110
\(C_{74}\)        0.9340963963184000
\(C_{75}\)        0.9080374740351110
\(C_{76}\)        0.8555071553419190
\(C_{77}\)        0.7151394661299430
\(C_{78}\)        0.9395080332688690
\(C_{79}\)        0.9150326342469720
\(C_{80}\)        0.8646170522876200
\(C_{81}\)        0.7262182757965900
\(C_{82}\)        0.9622367790934800
\(C_{83}\)        0.9534350593183060
\(C_{84}\)        0.9396275848878230
\(C_{85}\)        0.9154771550388930
\(C_{86}\)        0.8655560571146640
\(C_{87}\)        0.7277509208464940
\(C_{88}\)        0.9660058153666870
\(C_{89}\)        0.9603609141193010
\(C_{90}\)        0.9527241776987260
\(C_{91}\)        0.9418770009145580
\(C_{92}\)        0.9253947591916640
\(C_{93}\)        0.8977482706089110
\(C_{94}\)        0.8435023814109470
\(C_{95}\)        0.7024339796080790
\(C_{96}\)        0.9177709146158380
\(C_{97}\)        0.8864192080100020
\(C_{98}\)        0.8261491413185900
\(C_{99}\)        0.6766291350134880
\(C_{100}\)        0.8482497051466260

白新岭

天山草 发表于 2016-11-24 20:42
公式【2】中的 c 系数按下式计算：

我是用预制好的10亿内的素数通过vfp编程计算所得，它的精度应该与范围值（所参与到的素数最大值）的平方成一定关联值，最后没有再做处理，(10^9)^2=10^18，精确度已经不错了。计算k生素数相对误差较小，即便它们再怎么精确，计算出来的k生素数数量与实际也会有误差。

白新岭

有空时，需要重新看“天山草与大傻8888888先生合作给出的:梅滕斯推广公式”，那里有k生素数群数量公式中系数的影子，可以反应客观情况。

lusishun

梅腾斯公式里面也有连乘积公式的影子啊？
本人不懂，冒昧的请教，

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-10-4 12:53
梅腾斯公式里面也有连乘积公式的影子啊？
本人不懂，冒昧的请教，

N内的素数个数可用连乘积计算式：N*∏(p-1)/p= N*∏(1-1/p)再加上N平方根内的素数个数表示；
又可用素数定理公式N/ln(N)表示，忽略N平方根内的素数个数，应有：
N*∏(1-1/p)= N/ln(N)，约掉N，并将ln(N)中的N换成p^2，∏(1-1/p)= 1/ln(p^2)=1/[2*ln(p)]=1/2/ln(p)，ln(p)* ∏(1-1/p)=1/2=0.5。
将上式中的p换成x，就是梅滕斯公式中的参变量，当x趋近于无穷大时ln(x)* ∏(1-1/p)应趋近于e^(-r)。
根据梅滕斯公式ln(x)* ∏(1-1/p)=e^(-r)，式中e——2.718281828459，r——0.5772156649，e^(-r)=0.561459484，略大于0.5。
如果计及x平方根内的素数个数，则ln(x)* ∏(1-1/p)等于0.561459484就合情合理了。

yangchuanju

e——2.718281828459，r——0.5772156649，       
e^(-r)=0.561459484       
e^(-r)        0.561459484
2*e^(-r)        1.122918967
1/[2*e^(-r)]        0.890536209
1/[2*e^(-r)]^2        0.79305474

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-10-4 15:06
N内的素数个数可用连乘积计算式：N*∏(p-1)/p= N*∏(1-1/p)再加上N平方根内的素数个数表示；
又可用素 ...

ln(x)* ∏(1-1/p)=0.561459483......中的p≤x
如果p≤√x，则ln(x)* ∏(1-1/p)=1.122918967......
则N内的素数个数可用连乘积计算式： N*∏(1-1/p)/1.122918967......=N/ln(N)  其中p≤√N