张彧典先生的第八构形是一个非常重要的构形类型（三）

雷明85639720

张彧典先生的第八构形是一个非常重要的构形类型（三）
雷  明
（二○一六年十一月二十三日）

6、第四构形着色过程中的各图（如图5）


图5中图5①本身也是一个通过顺时针颠倒，可同时移去两个同色B的构形。图5③是一个类似第八构形的构形，其上图是一个类赫渥特图型的构形，下图是一个可同时移去两个同色的类似第一、第二构形的构形，都是可解的和可约的。
7、第三构形着色过程中的各图（如图6）


    图6中图6①本身也是一个可以同时移去两个同色B的构形。
8、第二构形着色过程中的各图（如图7）

图7中图7①本身是一个类赫渥特图型的构形（即张先生的第二构形）。
9、第一构形着色过程中的各图（如图8）

图8中图8①本身就是一个与第三构形相似的可以同时移去两个同色B的构形。
10、5—轮构形的种类及其解法
5—轮构形中，除了坎泊构形外，就是以上的各图中所出现的类型。以上各图中一共出现了四种类型的构形，即张先生的第一、第三构形类构形，第二构形类构形，第八构形类构形，第九构形类构形四种。图中还可以看出，在这四类构形之间，除了第八构形与第九构形不能相互转化外，其他之间两两构形都是可以相互转化的（如图9）。按箭关所指的方向操作，就可以对任何一个5—轮构形进行4—着色。以上这四类构形中，除了类似张先生第八构形的构形外，其他各类构形都有自已的独特的解决办法，直接转化成坎泊构形，而只有类似张先生第八构形的构形一定要通过转型，使构形变成其他三类构形之一，才能使用其他三种构形的解决办法进行解决，使其变成为可约坎泊构形。

    类似张先生第一、第三构形的可同时移去两个色的构形，不管是不是九点形，都是可以有选择性的对两条关于两个同色的色链按先后次序进行交换，空出两个同色给待着色顶点着上；
类似张先生第二构形的类赫渥特图型的构形，可以从两条交叉链的相交顶点，交换两交叉链中共有的颜色和两链都没有的颜色所构成的色链，使图变成坎泊构形而可约，不管图是不是九点形，都可以这样办到；
类似张先生第九构形的类敢峰—米勒图型的构形，可以从两条交叉链的非相交顶点，交换两交叉链中不相同的颜色所构成的色链，使图变成坎泊构形而可约。仅管同样也是移去了两个同色，但不能直接交换两条关于两个同色的色链，只有构形中的顶数简化至九点形（如张先生的Z2构形）时，才可以不分先后次序的直接交换两条关于两个同色的色链，同时移去两个同色；
类似张先生第八构形的构形，只能采用颠倒法，使构形转型，再用其他三种类型构形的解法去解决。该构形是一个不能同时移去两个同色的构形。但如果图中的顶点数简化至九点形时，图就变成了张先生的第一、第三构形了。成为可同时移去两个同色的构形了，但交换是有先后次序的，不象Z2那样不分先后次序。
由此看来，张先生的第八构形不仅是一个单独的构形，而且是很主要的构形。该构形能够代表任何轮构形，进行任一颠倒后就可以变成其他三种构形的任何一种，都成为可约的；当构形中不存在交叉链时，就是坎泊构形，更就是可约的了。所以可以说任何5—轮构形都是可约的了。
11、四色猜测的证明
坎泊在一八七九年已经证明了4—轮以下的构形和部分5—轮构形都是可约的，现在我们又证明了所有的5—轮构形都是可约的，到此，平面图的所有不可免构形都已证明是可约的了，四色猜测也就得到了证明是正确的。
12、希望与张彧典先生继续共同讨论
这里我请张先生看看我这个证明不可免构形集完备性的方法是否合适。我总感到张先生用颠倒次数来证明，是说服不了人的。按张先生的方法，按行逆时针颠倒一直进下去，后面还有没有颠倒次数大于八次的，是没有得到证明的。张先生在八大类型确定之后，才发现了米勒图，后又增补了第九构形，这一现象本身就说明了张先生的证明连他本身也是说服不了的，是不能令人信服的。而我这里是按构形中各链的分布关系进行分类的，且各类有各类的独特的着色方法，很容易看出，再不会有别的类型的构形了。所有类型的构形都是可约的，那当然四色猜测也就是正确的了。
从对张先生八大构形的分析看，这八个构形全都可以通过两次交换，就可以空出图中已用过的四种颜色之一，给待着色顶点着上。而只有第八构形要通过三次交换（所多的一次交换，是因为需要对构形进行转型而增加的），也就可以空出图中已用过的四种颜色之一，给待着色顶点着上。但不知张先生为什么一定要通过那么多次的颠倒（交换）呢。
从分析中还可以看出，各构形着色过程中的中间图中，有一些都是与第八构形有相同特征的构形，属于第八构形一类。从这些构形开始，直到各大构形最后完成着色，也相当于是对第八构形在进行着色，但也并没有都用到八次颠倒。是不是还存在有需要进行八次以上颠倒的构形，谁也说不清楚。所以说，张先生得出的结论，最多只通过八次逆时针颠倒，就可以使任何5—轮构形都能进行4—着色的结论是不能成立的。
不过张先生还是动了很大脑筋的，构造出了第四至第八的五个构形也是很不容易的，而且正好后一个构形比前一个构形所需颠倒的次数多一次，正好凑成了与他的八次大循环相吻合的结果。但不管怎么样，还得要感谢张先生，我是在他的八大构形的基础上进行这一研究工作的，也才从中找出了以上的有规律性的东西。我希望今后，还能更多的与张先生进行讨论和研究。

雷  明
二○一六年十一月二十四日于长安

注：此文已于二○一六年十一月二十七日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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