在 ΔABC 中，AB=AC，∠A=20°，D,E 在 AC,AB 上，∠CBD=65°，∠BCE=25°，求 ∠BDE

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

王守恩

1，由三角形PBC得：
     PB=sin25
     PC=sin65
2，由三角形PBE得：
     PB=sin25=sin25sin75/sin75=sin75sin25/sin75
                                     PE=sin15sin25/sin75
3，由三角形PCD得：
     PC=sin65=sin65sin35/sin35=sin35sin65/sin35
                                     PD=sin55sin65/sin35
4，由三角形PDE得：
     tgPDE=PE/PD=sin15sin25sin35/(sin55sin65sin75)
5，得PDE=5

关键在于：
1，我们把三角函数当作长度（！！！）进行运算。
2，在这里，我说的是一种方法，不是一道题！
3，有兴趣的朋友，不妨看一看《三角函数第一课》。

dodonaomiki

tgPDE=PE/PD=sin15sin25sin35/(sin55sin65sin75)


关键，就是这一步！
前面，丝毫没有难度！



看你这一步，是怎么算出来的？
否则，全部成了扯淡！

boob

sin15sin25sin35/(sin55sin65sin75)
=sin15sin25sin35/(cos15cos25cos35)
=tan15tan25tan35
再利用tanθ=tan3θ*tan(30°-θ)*tan(30°+θ)

王守恩

王守恩 发表于 2016-12-17 15:48
1，由三角形PBC得：
     PB=sin25
     PC=sin65

一般地，
1，任意4边形有4个顶点，
2，用1条直线把每个顶点分成2个角，
3，4条直线在4边形内须有1个交汇点，
4，4个顶点被分成8个角，
5，依次给这8个角编号1，2，3，4，5，6，7，8。
6，我们有：
     1+2+3+4+5+6+7+8=360
     sin1sin3sin5sin7=sin2sin4sin6sin8
7，题目：
     给定6个角，求另外2个角。则
     1+2=360-3-4-5-6-7-8=固定值
     sin1/sin2=sin4sin6sin8/(sin3sin5sin7)=固定值
8，当然，4边形可以改5边形，6边形，......


联系本题，太简单了，4条直线在交汇处互相垂直。

luyuanhong

谢谢楼上 boob 和 王守恩的解答。下面是此题的详细解答过程：

hyx

luyuanhong

谢谢楼上 hyx 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。