与张彧典先生再商榷

雷明85639720

与张彧典先生再商榷
雷  明
（二○一七年元月十五日）

再次看了你的有关文章，感到还有必要与你再次商榷如下：
你的Z1—构形中有一条环形的经过顶点2和8的A—B链，这个构形可以同时移去两个同色B，我认为它应属于K—构形之列（这是一个九点形图）；但该构形当顶点数增多时，就不可能都能同时移去两个同色，如你的Z3—构形那样，这样的构形必须在A—B环形链内、外交换任一条C—D链，图就会变成K—构形而可约。你的Z3—构形和第九构形就是这样解决的。
你的Z2—构形中有一条环形的经过顶点4、5、6、7的C—D链，这是赫渥特图的特征，在C—D环形链内、外交换任一条A—B链都可以使图变成K—构形而可约。赫渥特图就是这样着色的。该构形不管是九点形图还是非九点形图，只要是有环形的C—D链，都可以用这种办法解决。
你的Z3—构形也是有一条经过顶点2（或8）的A—B环形链，是Z1—构形顶点数增多后的图，其解法也是在A—B环形链内、外交换任一条C—D链，图就会变成K—构形而可约。
你这里实际上只有两种情况的H—构形，一种是图中含有环形A—B链的，另一种是图中含有环形C—D链的。但你忘了还有的图中既没有环形的A—B链，也没有环形的C—D链的，如你的第八构形那样。第八构形你虽然认为按顺时针方向颠倒，与第二构形有相同的颠倒次数，但他们在结构上却是有很大差别的。第二构形中有一条经过顶点4、5、6、7环形链A—B，而第八构形中却是没有的。因此，你把它们两个放在一起是不太合适的。而且第八构形只能用转型交换的方法（即真颠倒法）使构形转型，使其转化成为可以同时移去两个同色的K—构形或M—构形而可约；一次转型后若仍是属于第八构形的Z—构形时，再进行一次与第一次同方向的转型交换，即可使之转化成为K—构形而可约。而第二构形除了转型交换外，还可用断链法进行解决。这也是二者不同的地方。
如把第二构形和第八构形分别看作一种构形，现在就已有三种构形了。
第九种构形，图中两种环形链分别都有，既有Z1（和Z3）的特征，又有Z2的特征，用Z1（和Z3）的解决办法可以解决，用Z2的解决办法也可以解决。应该说它不是一个类型。你、我都把它单独作为一类型，也不太合适。但也说得过去，前面的两种有环形链的构形，都只有一种环形链，而它却有两种环形链，从这一点上说，把其单列也不是不可以。
这样你、我的H—构形就完全可以统一为三种或四种，即无环形链的H—构形，有A—B环形链的H—构形，有C—D环形链的H—构形三种；或者把既有A—B环形链，又有C—D环形链的H—构形也归为一类，共四类。这就是我们统一的前提。
我认为这三种或四种H—构形从链的结构上讲，各种情况都考虑到了，再没有别的结构不同的构形了，所以这个集合是完备的。另外，这三种或四种构形，都是可以从H—构形转化成K—构形的，也就说明了以上的完备集中的构形都是可约的。加上坎泊所证明了的可约构形，平面图的所有不可免构形都是可约的了，这不就证明了四色猜测是正确的了吗。
我认为这样的证明方法是合理的，而你的证明方法是不完善的。我想你还是对你的证明方法是否再考虑一下。我仍认为你把第八构形与第二构形归入一起是错误的，也请你再酙酌。

雷  明
二○一七年元月十五日开长安

    注：此文已于二○一七年元月十五日在《中国博士网》上发表过，网址是：