几个最基本的H—构形向K—构形的转化

雷明85639720

几个最基本的H—构形向K—构形的转化
雷  明
（二○一七年元月十六日）

图1是我构造的四种最基本的H—构形，都是123—BAB型的5—轮构形。图中都有连通的A—C链和A—D链，两链有共同的起始顶点2A，也有交叉顶点8A；也都不能同时移去两个同色B；都是属于H—构形。这几个图都是“十九点形”图。这种构形是不能通过“空出颜色”的交换而直接给待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一的。

图1，a中有一条环形的A—B链，分C—D链为环内、环外互不连通的两部分，交换任一部分C—D链，都可以使连通的A—C链和A—D链“断开”，使图变成为坎泊的K—构形而得解，该构形是可约的。敢峰—米勒图就是这样着色的；
图1，b中有一条环形的C—D链，分A—B链为环内、环外互不连通的两部分，交换任一部分A—B链，也都可以使连通的A—C链和A—D链“断开”，使图变成为坎泊的K—构形而得解，该构形也是可约的。这种图我们叫它赫渥特图型的H—构形。赫渥特图就是这样着色的；
图1，c和图1，d中，都既没有环形的A—B链，也没有环形的C—D链，两链都是直链（道路）且只有一条。这个图与以上两图完全不同，是不能用“断链”的方法解决的。这种图我叫它张（彧典）氏Z—构形。由于图1，c和图1，d两图实质上是相同的，只是左右打了一个“颠倒”，所以我们就只研究一个就行了，如图1，c。
四种颜色可能构成的色链只有六种，在该图中已有两条连通链A—C和A—D不能交换；A—B链和C—D链又都是直链且各只有一条，交换了只等于把链中各顶点的颜色全换一遍，没有什么作用；而B—C链和B—D链又不能同时交换。现在只有一步路可走了，就是先只交换B—C链和B—D链中的一种，先移去一个B，让构型转型了。

图1，c从顶点3进行了B—C链的顺时针“转型”交换后，构形由原来的123—BAB型转化成了345—CDC型，图中有连通的D—A链和D—B链，共同起始顶点是4D，交叉顶点是7D；图中有一条环形的A—B链，分C—D链为环内、环外互不连通的两部分，具有赫渥特图型的H—构形的特点，是一个赫渥特图型的H—构形。交换A—B环形链内、外的任一部分C—D链，都可以使图变成为坎泊的K—构形而得解（如图2，b）；

图1，c从顶点1了进行了B—D链的逆时针“转型”交换后，构形由原来的123—BAB型转化成了451—DCD型，图中有连通的C—A链和C—B链，共同起始顶点是5C，交叉顶点是6C；图中仍没有环形链，仍是一个张氏的Z—构形（如图3，a）。继续再进行“同方向”的“转型”交换（若进行不同方向的“转型”交换，图就会又回到原图），得到图3，b。这时，图成为一个可以同时移去两个同色A的K—构形，但必须先从顶点2进行交换。
如果把“十九点形”的顶点减少，变成“十五点形”时，则图1，c从顶点3交换B—C链时，得到的仍是一个赫渥特图型的H—构形（如图4，a）；而从顶点1交换B—D链时，得到的却是一个可以同时移去两个同色的K—构形（如图4，b）。图1，a和图1，b变成“十五点形”时，还仍是H—构形，解决的办法仍然是没有变化的。
当图再由“十五点形”减少顶点，变成“九点形”时，图1，a和图1，c就变成一个可以同时移去两个同色B的K—构形了（如图5，a和图5，c或图5。d）；而图1，b仍是一个赫渥特图型的H—构形，其解决办仍然是交换C—D环形链内、外的任一条A—B链，使A—C链和A—D链“断链”的方法（如图5，b）。


如果这些“九点形”的顶点数再继续减少，则构形全部都会变成K—构形而可约。
H—构形的基本类型除了图1中的四种（实际上是三种）外，就再也没有别的类型了。这四种类型的H—构形都是可约的，就说明了所有的H—构形都是可约的；H—构形可约了，再加上坎泊已证明了是可约的所有K—构形，也就说明了5—轮构形就都是可约的了；5—轮构形可约了，加上4—轮构形、3—轮构形、2—轮构形、1—轮构形和0—轮构形的可约，平面图的所有不可免构形就都是可约的了。这就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一七年元月十六日于长安

注：此文已于二○一七年元月十六日在《中国博士网》上发表过，网址是：