在不大于 50 的正整数中，有几个正整数 n 使得 2^n-n^2 为 7 的倍数？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

重生888

n=(2，  4  .  5.   6.)可以；其他慢慢算，能解。

王守恩

16个零......

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

重生888

如果按定义，任何数的0次方=1    那么0也可以算！

angel_phoenix88

设n=7k+t(0≤t≤6)，0≤k≤7
原题转化为解不定方程
2∧(k+t)-t^2≡0mod7
由于(2^3)≡1mod7
t=0,无解

t=1，2^(k+t)≡1mod7，k+t=3a,解出k=2,5
t=2，2^(k+t)≡4mod7,k+t=3a+2，解出k=0,k=1，k=4
t=3，2^k≡2mod7≡9mod7,k=3a+1,k=1,4
t=4,2^(k+1)≡2mod7≡16mod7,k=3a，解出k=0,3,6
t=5,2^(k+2)≡4mod7≡25mod7,k=3a，解出k=0,3,6
k=6,2^k≡1mod7≡36mod7,k=3a，解出k=0,3,6
最终符合条件的数目是16个


估算法,由于2^3≡1mod7，符合条件的数介于50*(6/7)*(2/7)和50*(6/7)*(3/7)之间

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。