求最小整数 n 使大于等于 n 的整数都可以表示为 5a+14b+21c（a,b,c 为正整数）的形式

luyuanhong

题  求最小整数 n 使大于等于 n 的整数都可以表示为 5a+14b+21c（a,b,c 为正整数）的形式。

解  当 n＝77 时，因为 5,14,21 都至少要用到一次，所以还剩下 77-5-14-21＝37 ，要将 37

表示为 5,14,21 的非负线性组合。因为 14，21 都是 7 的倍数，而 37 不是 5 的倍数，37 要

表示为 5,14,21 的非负线性组合，必须要用到 5 ，而且减去若干个 5 以后，必须是 7 的倍数。

容易看出，37 只有减去 6 个 5 ，得到 37-5×6＝7 ，才是 7 的倍数，但因为 7 小于 14,21 ，

不可能表示为 14,21 的非负线性组合，所以，n＝77 不能表示为 5,14,21 的正线性组合。

    当 n≥78 时，n 总可以表示为 5,14,21 的正线性组合，因为

    当 n＝78+5k 时，有 n＝5×3+14×3+21×1+5k＝15+42+21+5k（k=0,1,2,…）；

    当 n＝79+5k 时，有 n＝5×6+14×2+21×1+5k＝30+28+21+5k（k=0,1,2,…）；

    当 n＝80+5k 时，有 n＝5×2+14×2+21×2+5k＝10+28+42+5k（k=0,1,2,…）；

    当 n＝81+5k 时，有 n＝5×5+14×1+21×2+5k＝25+14+42+5k（k=0,1,2,…）；

    当 n＝82+5k 时，有 n＝5×1+14×4+21×1+6k＝ 5+56+21+5k（k=0,1,2,…）。

    由此可见，n＝78 是最小的整数，使得大于等于 n 的整数都可以表示为 5,14,21 的正线性组合。