请忏悔吧！哈代先生

唯我独醒

    在潘承恩先生所著的《素数分布与哥德巴赫猜想》一书中，有这样的式子：
        【∫S^2(α)e^(-2πiαN_1)dα
         =2{∏p＞2}(1-1/{p-1}^2){∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})N^2/logN_1】
积分为定积分，由于积分的区域是以德文而示之，写不出来，故而将其省略了。据书中言，该式是利用圆法所求得的当N_1为偶数时p(1,1)的情况。本摘抄并不敢作丝毫的篡改，仅仅是将书本中的上下标以平铺的方式而书写之。
    让我们来看一下，这个被数论学家倍受推崇的证明，究竟是啥样的货色？
    先来看一下{∏p＞2}(1-1/{p-1}^2)，此式可以怎样地冒出来呢？
    让我们用(1-1/p)^2=(p-1)^2/p^2来除(1-2/p)，则有：
        (1-2/p)/{(p-1)^2/p^2}={(p-2)/p}*{p^2/({p-1}^2)}
       ={(p-2)*p^2}/{p*({p-1}^2)}={(p-2)*p}/(p-1)^2
       ={p^2-2p}/{p^2-2p+1}={1-1/(p-1)^2}
却原来，{∏p＞2}(1-1/{p-1}^2)可以由{∏p＞2}(1-2/p)除以{∏p＞2}(1-1/p)^2而获得。
    在上面的计算中，少了一项(1-2/p)除以(1-1/2)^2。这是因为，在加法关系N=a+b中，若N是偶数，其互素系数中总是有1-1/2之因式，并不存在(1-2/p)之因式。用1/2除以(1-1/2)^2=1/4，则有：(1/2)/(1/4)=2；也就是等式右边最早所出现的那个2。
    总结上面的这些计算，我们可以得到：
        2{∏p＞2}(1-1/{p-1}^2)=1/2{∏p＞2}(1-2/p)/∏(1-1/p)^2
这个被除数1/2{∏p＞2}(1-2/p)，也就是鄙人向世人所推荐的双筛法中当N=2^n时的互素系数也。
    让我们再来看一下这个除数∏(1-1/p)^2又是什么样的货色？
    我们知道，当x→∞时，有lim π(x)/x=∏(1-1/p)。显然，这是所谓的素数的出现概率∏(1-1/p)，也就是将不大于x的素数个数，平均分摊于每一个自然数之中。这个∏(1-1/p)也可以当作为不大于x的每一个自然数所具有的素数含量而视之：π(x)=x∏(1-1/p)。
    设有两个独立事件{1,2,3,…,x}和{1,2,3,…,x}，它们之间的组合元素{a,b}共有元素x^2个；如此，每一种组合元素{a,b}有出现概率为1/x^2。根据独立事件的乘法定理，与不大于x中自然数所具有的素数含量相似，每一种组合元素{a,b}中皆有p(1,1)这样的素数含量为∏(1-1/p)^2：在x^2中，当x→∞时，在出现概率1/x^2中的p(1,1)之含量，有lim (π(x)/x)^2=∏(1-1/p)^2。
    再让我们看一下{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})又是什么样的货色？
    据哈代先生说，对于{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})={∏p|N,p＞2}(p-1)/(p-2)之式，最早予以应用的人并没有说明其来历，但其确实能反映出偶数表为两个奇素数之和所呈现的忽多忽少之现象，故而，作为经验之值而被采用了。鄙人不才，但对此式的来历却略知一二。这(p-1)/(p-2)不就是用1-1/p除以1-2/p而来的嘛：
        (1-1/p)/(1-2/p)={(p-1)/p}/{(p-2)/p}=(p-1)/(p-2)
也许是由于太简单，最早应用的人也就不好意思将其说出来了。
    将该乘积因子添在前面所说的1/2{∏p＞2}(1-2/p)中，则有：
        1/2{∏p＞2}(1-2/p)*{∏p|N,p＞2}(p-1)/(p-2)
       =∏(1-1/p)∏(1-2/q)  p|N q⊥N
符号“⊥”表示不整除。这不就是用双筛法而求得的一般之解的互素系数吗？真的就是它，没错！
    对于这个1/logN_1，人们应该是很熟悉的了，它就是所谓的素数密率也。
    如此，在用圆法而求得的证明中，具有三种可用以处理素数元素的概率：
    一种是由双筛法从加法关系N=a+b中而获得的互素系数：
        ∏(1-1/p)∏(1-2/q) p|N q⊥N
    另一种是由两个独立事件中的每一种组合元素{a,b}的出现概率中所具有的素数含量：
        ∏(1-1/p)^2
    第三种就是由自然数列中所求得的素数密率1/logN_1。
    将这许多用以处理素数含量的概率，一股脑儿地全都用在了这N^2上了；真所谓，五味皆全矣！那么，用这么多的出现概率来处理N^2，所得到的又是什么耶？
    让我们先来看一下{∏p＞2}(1-1/{p-1}^2)的值。在三素数定理中，就有对该式的计算：
    【{∏p|N}(1-1/{p-1}^2)＞{∏2≤n≤N}(1-1/n^2)
     ={∏2≤n≤N}(1-1/n)(1+1/n)=1/2(N+1)/N＞1/2】
这是在奇数N表为三个奇素数之和中的推算，因此，这里的p|N并没有素数2的事。由此可知，2{∏p＞2}(1-1/{p-1}^2)＞1。
    再来看一下{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})的值。毋庸置疑，(p-1)/(p-2)＞1；可知，有{∏p|N,p＞2}(1+1/{p-2})＞1。
    剩下来的也就只有N^2/logN_1了。我们知道，N/logN_1≈π(N)，而π(N)乃是计算不大于N的素数之个数的函数也。由于前面所计算的诸值均大于1，如此，对圆法的证明所作的计算，得到的数据竟然是大于N*π(N)。天啊！偶数N表为两个奇素数之和的个数，却原来比不大于N的自然数列中的自然数之个数还要多！真亏得是哈代先生能将其证明出来呀！如此地误导后辈，请忏悔吧！哈代先生。

珠穆亚纳

    请先生用WORD仔细的，严格的把上文写出来，应该是一篇有意义的论文。
    现在，清理一下旧理论体系的许多谬误，其意义是很大的。或者下载数学专用编辑软件来写作，效果或许更好。

唯我独醒

    哈哈！珠穆亚纳先生，知道鄙人是谁吗？鄙人就是胡思之。因鄙人常用的二个网名在这里已被别人注册，而曾经用拼音字母注册的网名，鄙人又记不住，不得已，只好用在其它论坛中常对那些所谓的官科显示一点狂妄之态的口头禅作为网名；这个网名鄙人肯定是记得住的，因为这句口头禅常说。
    用WORD软件书写，鄙人从未尝试过；因为，不懂得如何将其上传。

珠穆亚纳

    我早已看出是先生的大作，因为文风使然，网络上别具一格，甚至可以说有“承前启后”的特殊风格，走到哪里，也是“似曾相识”的。
    至于写作和上传在这里是很方便的，在回复栏“就在上面红字上的“目前附件上一行：浏览、立即上传”位置，点击”浏览“只要符合“支持类型”中的类型都可以上传，WORD文档就属于其中一种，很方便，如谁想阅读，只要点击上传文件的位置就可以下载阅读了。
    大作的意义上文已有评价，这里不再赘述。望先生痛快淋漓的畅抒己见。

白洞先生

应对哈代先生有正确的看法。

唯我独醒

    此乃借古人而讽今人，并非是真的让哈代先生忏悔也。

wangyangkee

俞根强，与一般网友不同；骨子里有一股股蠢货往外透----------那是俞氏的传统和荣耀啊，，，，不让他发泄个够，，，，行吗？

白新岭

只做表面文章。

白新岭

哈代公式的主项应是N/（ln（N））^2,或者素数个数的平方/N。
只是牵强附会把哈代的公式解释成了“连乘积”形式，倍含量，双筛法，素数密率，独立条件概率等等。
而没有实际理解它的真正数学意义。
当某一天自己不用上述方法去推到，而用自己方法同样得到哈代一样的公式时，你就彻底明白了。