已知 x,y≥0 ，x^2+y^2=25 ，求 5x^2+4xy+y^2 的最小值

luyuanhong · 发表于 2017-2-8 08:22

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix88 · 发表于 2017-2-8 08:51

x=5cosθ,y=5sinθ
5x^2+4xy+y^2=100(cosθ)^2+100sinθcosθ+25=50(cos2θ+sin2θ)+75

最小值75-50sqrt(2)

luyuanhong · 发表于 2017-2-8 11:06

谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

angel_phoenix88 · 发表于 2017-2-8 12:39

考虑到x≥0,y≥0，意味着θ∈(0,π/2)的闭区间
75+50sqrt(2)sin(2θ+π/4)的最小值为75-50sqrt(2)sin(π/4)=25

angel_phoenix88 · 发表于 2017-2-8 12:43

5x^2+4xy+y^2=25+4x(x+y),
很显然，在x≥0,y≥0，x^2+y^2=25的前提下最小值为25

三角函数适合不限制条件的通解，有限制反而简单

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