单位向量 a,b ，对任意｜xa+yb｜=1，xy≥0 有｜x+2y｜≤8/√15，求内积 a·b 的最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix88

设单位向量
a=cosα+isinα
b=cosβ+isinβ


|ax+by|=1 xy≥0


(xcosα+ycosβ)^2+(xsinα+ysinβ)^2=1(1)

x^2+y^2+2xycos(α-β)=1

(x+ycos(α-β))^2+(ysin(α-β))^2=1
再设x+ycos(α-β)=cosδ
ysin(α-β)=sinδ

解出
y=sinδ/sin(α-β)
x=cosδ-sinδ/tg(α-β)
x+2y=cosδ+sinδ(2/sin(α-β)-ctg(α-β)
利用最大值为1+(2/sin(α-β)-ctg(α-β)^2=64/15
(5-4cos(α-β))/(1-(cos(α-β))^2-=64/15
64(cos(α-β))^2-60cos(α-β)+11=0(2)
ab的向量积最小值=cos(α-β)=-1/16

angel_phoenix88

设单位向量
a=cosα+isinα
b=cosβ+isinβ


|ax+by|=1 xy≥0


(xcosα+ycosβ)^2+(xsinα+ysinβ)^2=1(1)

x^2+y^2+2xycos(α-β)=1

(x+ycos(α-β))^2+(ysin(α-β))^2=1
再设x+ycos(α-β)=cosδ
ysin(α-β)=sinδ

解出
y=sinδ/sin(α-β)
x=cosδ-sinδ/tg(α-β)
x+2y=cosδ+sinδ(2/sin(α-β)-ctg(α-β)
利用最大值为1+(2/sin(α-β)-ctg(α-β)^2=64/15
(5-4cos(α-β))/(1-(cos(α-β))^2-=64/15
64(cos(α-β))^2-60cos(α-β)+11=0(2)
ab的向量积最小值=cos(α-β)=-1/16

luyuanhong

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我最后一步分解因式解错