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欧德斯猜想的初等证明
关永斌 、关春河
（黑龙江省龙江县发达中学 161102）
摘要：利用欧德斯方程正整数解的一般表达公式(G)，用初等方法证明了欧德斯猜想。
关键词：埃及分数 欧德斯猜想
对于埃及分数的一个特例，匈牙利数学家欧德斯于1950年提出一个欧德斯猜想[1]：
对于一切n>1的正整数，方程
4/n=1/x+1/y+1/z （1）
均有正整数解x,y,z。
经多年探索，我们已经得到方程（1）的一般求解方法，推出定理：
定理（1）：方程（1）正整数解的一般公式（G）表达为：
n=4k+r , x=u+k+1 , y=nv(u+k+1)/A , z=nv(u+k+1)/B
其中：0≤u≤2k +1, r<4 , k,r,u,v,A,B∈N 。且满足A≥B , A|n(u+k+1) , B|n(u+k+1) , A+B=v(4u+4-r)。
对于任一个大于1正整数n，利用公式（G)，可以求得其满足方程（1）的全部正整数解(x,y,z),且满足x≤y≤z。在此，我们给出两个定义：
定义（1）：在任一个n满足方程（1）的全部正整数解中，满足x取最小值的解，称为初始解。
定义（2）：在任一个n满足方程（1）的全部正整数解中，满足z取最小值的解，称为最好解。
利用公式（G），欧德斯方程的一般解法已经解决。这就为用初等方法解决欧德斯猜想，提供了有力的工具。现在，欧德斯猜想可以成为定理：
定理（2）：对于一切n>1的正整数，方程（1）均有正整数解(x,y,z)。且其正整数解均可以用公式(G)表达出来。
证： 首先我们证明，在公式(G)中，如果把u看作为n的函数，那么对于一切n>1的正整数，以n为自变量，通过调整u的取值，均可以推得任意的n都存在满足方程（1）的正整数解(x,y,z)。
对于一切n>1的正整数，以4为模对n进行同余分类,则n=4k+r。显然，k,r∈N,且r=0,1,2,3 。
1 当r=0,2,3时，这三种类型的正整数n均存在形式统一，且满足公式（G）的特殊解。
1．1 当 r=0时，n=4k。由于n>1,显然，此处的k>0。
取u=0，A=2,B=2,推得v=1。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解，
4/n=1/(k+1)+1/[2k(k+1)]+1/[2k(k+1)]。
取u=2k-1，A=B=4k,推得v=1。即可推得这种类型的n满足方程（1）最好解4/n=1/k=1/3k+1/3k+1/3k。
1．2当r=2时，n=4k+2。取u=0，A=1,B=1,推得v=1。即可推得是这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=1/(k+1)+1/[2(k+1)(2k+1)]+1/[2(k+1)(2k+1)]。
取u=k，A=B=2k+1,推得v=1。即可推得这种类型的n满足方程（1）最好解
4/n=4/（4k+2）=1/（2k+1）+1/[2（2k+1）]+1/[2（2k+1）]。
1．3当r=3时，n=4k+3。
取u=0，A=1,B=1,推得v=2。即可推得是这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=1/(k+1)+1/[(k+1)(4k+3)]+1/[(k+1)(4k+3)]。
取u=k+1,A=4k+3，B=2,推得v=1。即可推得这种类型的n满足方程（1）最好解
4/n=4/（4k+3）=1/[2（k+1）]+1/[2（k+1）]+1/[（k+1）(4k+3)]。
2 当r=1时，n=4k+1。由于n>1,显然，此处的k>0。利用公式(G),首先对4/n进行初步分拆，可推得
4/（4k+1）=1/(u+k+1)+(4u+3)/[(4k+1)(u+k+1)] (2)
此时，我们已经解得x=u+k+1。显然，要想把方程（2）化为方程（1）的形式，实质就是求解方程
（4u+3）/[（4k+1）(u+k+1)] =1/y+1/z (3)
问题的关键就是能否在(4k+1)(u+k+1)中，分解出两个因子A和B，并使其满足A+B=v(4u+3)，且v∈N。但方程（2）中不存在统一u。
2．1 当k=1时，n=5。由方程（3）可得
（4u+3）/[5（u+2）]=1/y+1/z (4)
此时，只能取u=0，推得x=(u+k+1)=2。
① 若取A=2，B=1，即可推得v=1。并推得y=5,z=10。所以，当n=5时，方程（1）有正整数解
（n,x,y,z）=(5,2,5,10)。这是n=5满足方程（1）的初始解，也是n=5满足方程（1）的最好解。
② 若取A=5，B=1，即可推得v=2。并推得y=4,z=20。所以，当n=5时，方程（1）有正整数解
（n,x,y,z）=(5,2,4,20)。
综合上述可知，当n=5时，方程（1）只有这2种分拆形式。
2．2 当k=18时，n=73。由方程（3）可得
（4u+3）/73（u+19）=1/y+1/z (5)
① 先取u=0，则4u+3=3，x=(u+k+1)=19。由于73≡19≡1 （mod 3），因此，我们无法取得合适的A和B,以满足A+B=3v。所以，当n=73时，方程（1）没有u=0的正整数解。
② 再取u=1，则4u+3=7，x=(u+k+1)=20。
若取A=5，B=2，即可推得v=1。并推得y=292,z=730。
所以，当n=73时，方程（1）有正整数解（n,x,y,z）=(73,20,292,730)。这是n=73满足方程（1）的初始解，也是n=73满足方程（1）的最好解。
同理推得，当n=73时，方程（1）有且只有以下7个正整数解
（n,x,y,z）=（73，20，292，730），(73，20，219，4380)，(73，20，220，4015），
（73，20，210，30660），（73，21，146，3066），（73，21，140，30660），(73, 22, 110 , 4015)。
由于当n=5时，只能取u=0,而当n=73时，不能取u=0，所以，n=4k+1型一定不存在统一形式的初始解。
3 对n=4k+1型的正整数，以2为模对k进一步进行同余分类，则k=2t+ r1。显然，t,r1∈N,且r1=0,1。
3．1 当 r1=1时，n=4k+1=8t+5。取u=0，A=2,B=1,推得v=1。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解4/n=4/(8t+5)=1/[2(t+1)]+1/[(t+1)(8t+5)]+1/[2(t+1)(8t+5)]。这也是这种类型的n满足方程（1）最好解。
3．2当r1=0时，n=8t+1。由于n>1,显然，此处的t>0。以3为模对t进一步进行同余分类，则t=3h+r2。
显然，h,r2∈N,且r2=0,1,2。
①当 r2=1时，n=4k+1=8t+1=24h+9。
取u=0，A=3,B=3,推得v=2。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=4/(24h+9)=1/[2(8h+3)]+1/[2(8h+3)+1/[3(8h+3)]。
取u=10h+3，A=24h+9,B=16h+6,推得v=1。即可推得这种类型的n满足方程（1）最好解4/n=4/(24h+9)=1/[2(8h+3)]+1/[2(8h+3)+1/[3(8h+3)]。
② 当 r2=2时，n=4k+1=8t+1=24h+17。
取u=0，A=6h+5,B=1,推得v=2h+2。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=4/(24h+17)=1/(6h+5)+1/[2(h+1)(24h+17)]+1/[2(h+1)(6h+5)(24h+17)]。
取u=1，A=6,B=1,推得v=1。即可推得这种类型的n满足方程（1）最好解。
4/n=4/(24h+17)=1/[6（h+1)+1/[(h+1)(24h+17)]+1/[6(h+1)(24h+17)]。
3•3 当 r2=0时，n=4k+1=8t+1=24h+1。由于n>1,显然，此处的h>0。以5为模对h进一步进行同余
分类，则h=5f+r3。显然，f,r3∈N,且r3=0,1,2,3,4。
①当 r3=1时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+25。
取u=0，A=5,B=1,推得v=2。即可推得是这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=4/(120f+25)=1/(30f+7)+1/[2(30f+7)（24f+5）]+1/[2(30f+7)(120f+25)]。
取u=3，A=10,B=5,推得v=1。即可推得这种类型的n满足方程（1）最好解
4/n=4/(120f+25)=1/[10(3f+1)]+1/[5(3f+1)（24f+5）]+1/[10(3f+1)(24f+5)]。
② 当 r3=3时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+73。取u=1，A=5,B=2,推得v=1。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解4/n=4/(120f+73)=1/[10(3f+2)]+1/[2(3f+2)(120f+73)]+1/[5(3f+2)(120f+73)]。这也是这种类型的n满足方程（1）最好解。
③ 当 r3=4时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+97。
取u=0，A=5,B=1,推得v=2。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解4/n=4/(120f+97)=1/[5(6f+5)]+1/[2(6f+5)(120f+97)]+1/[10(6f+5)(120f+97)]。
取u=3，A=15f+14,B=1,推得v=f+1。即可推得这种类型的n满足方程（1）最好的正整数解4/n=4/(120f+97)=1/[2(15f+14)]+1/[2(f+1)(120f+97)]+1/[2(f+1)(15f+14)(120f+97)]。
④ 当 r3=2时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+49。以7为模对f进一步进行同余分类，则f=7i+r4。显然，i,r4∈N,且r4=0,1,2,3,4,5,6。
④．1 当 r4=0时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+49=840i+49。
取u=1，A=7,B=7,推得v=2。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=4/(840i+49)=1/[14(15i+1)]+1/[28(15i+1)(120i+7)]+1/[28(15i+1)(120i+7)]。
取u=210i+15，A=840i+49,B=14,推得v=1。即可推得这种类型的n满足方程（1）最好解
4/n=4/(840i+49)=1/[28(15i+1)]+1/[28(15i+1)]+1/[14(15i+1)(120i+7)]。
④．2 当 r4=1时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+49=840i+169。仿前面各类型的推导方法可知，这种类型的n必须进一步进行同余分类，方可推出其各类的特殊解。
④．3 当 r4=2时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+49=840i+289。仿前面各类型的推导方法可知，这种类型的n必须进一步进行同余分类，方可推出其各子类的特殊解。
④．4 当 r4=3时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+49=840i+409。
取u=1，A=210i+104,B=1,推得v=30i+15。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=4/(840i+409)=1/[2(105i+52)]+1/[15(2i+1)(840i+409)]+1/[30(2i+1)(105i+52)(840i+409)]。
取u=2，A=15,B=7,推得v=2。即可推得这种类型的n满足方程（1）最好解
4/n=4/(840i+409)=1/[105(2i+1)]+1/[7(2i+1)(840i+409)]+1/[15(2i+1)(840i+409)]。
④．5 当 r4=4时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+49=840i+529。仿前面各类型的推导方法可知，这种类型的n必须进一步进行同余分类，方可推出其各子类的特殊解。
④．6 当 r4=5时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+49=840i+649。
当n为素数时，取u=1，A=105i+82,B=2,推得v=15i+12。
即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=4/(840i+649)=1/[2(105i+82)]+1/[6(5i+4)(840i+649)]+1/[3(5i+4)(105i+82)(840i+649)]。
这也是这种类型的n满足方程（1）最好解。
⑤ 当 r3=0时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+1。以7为模对f进一步进行同余分类，则f=7i+r4。显然，i,r4∈N,且r4=0,1,2,3,4,5,6。
⑤．1 当 r4=0时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+1=840i+1。仿前面各类型的推导方法可知，这种类型的n必须进一步进行同余分类，方可推出其各子类的特殊解。
⑤．2 当 r4=1时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+1=840i+121。仿前面各类型的推导方法可知，这种类型的n必须进一步进行同余分类，方可推出其各子类的特殊解。
⑤．3 当 r4=2时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+1=840i+241。
取u=1，A=210i+62,B=1,推得v=30i+9。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=4/(840i+241)=1/[2(105i+31)]+1/[3(10i+3)(840i+241)]+1/[6(10i+3)(105i+31)(840i+241)]。
这也是这种类型的n满足方程（1）最好解。
⑤．4 当 r4=3时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+1=840i+361。仿前面各类型的推导方法可知，这种类型的n必须进一步进行同余分类，方可推出其各子类的特殊解。
⑤．5 当 r4=4时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+1=840i+481。
当n为素数时，取u=1，A=105i+61,B=2,推得v=15i+9。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=4/(840i+481)=1/[2(105i+61)]+1/[6(5i+3)(840i+481)]+1/[3(5i+3)(105i+61)(840i+481)]。
这也是这种类型的n满足方程（1）最好解。
当n为合数时，由于481=13×37,因此只能是i≡0(mod 13)或i≡0(mod 37)。
当i≡0(mod 13)时，取u=1，A=13,B=1,推得v=2。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=4/(840i+481)=1/2(105i+61)+1/[4(105i+61)(840i/13+37)]+1/[4(105i+61)(840i+481)]。
这也是这种类型的n满足方程（1）最好解。
当i≡0(mod 37)时，取u=1，A=105I+61,B=2,推得v=15i+9。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解4/n=4/(840i+481)=1/[2(105i+61)]+1/[6(5i+3)(840i+481)]+1/[3(5i+3)(105i+61)(840i+481)]
取u=9，A=37,B=2,推得v=1。即可推得这种类型的n满足方程（1）最好解
4/n=4/(840i+481)=1/[10(21i+13)]+1/[10(21i+13)（840i/37+13）]+1/[5(21i+13)(840i+481)]。
另外，当i≡0(mod 11)时，取u=0，A=11,B=1,推得v=4。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解4/n=4/(840i+481)=1/[(210i+121)]+1/[4(210i/11+11)(840i+481)]+1/[4(210i+121)(840i+481)]。
这也是这种类型的n满足方程（1）最好解。
⑤．6 当 r4=5时，n=4k+1=8t+1=24h+1=120f+1=840i+601。
取u=1，A=105i+76,B=1,推得v=15i+11。即可推得这种类型的n满足方程（1）的初始解
4/n=4/(840i+601)=1/[2(105i+76)]+1/[2(15i+11)(840i+151)]+1/[2(15i+11)(105i+76)(840i+241)]。
这也是这种类型的n满足方程（1）最好解。
……
以此方法持续下去，即可推得所有n=4k+1=8t+1=24h+1型正整数都有满足方程（1）的正整数解。
综上所述，对于一切n>1的正整数，均有满足方程（1）的正整数解(n,x,y,z)，且其解的形式一定可以表达为公式(G)。
反之，在公式(G)中，如果把n看作为u的函数，那么通过依次对u取正整数值，就能推得由公式(G)表达出的正整数组(n,x,y,z)，可以使一切n>1的正整数，均有满足方程（1）的正整数解(n,x,y,z)。
由以上推导过程可知，除了n=24h+1型正整数之外，其余类型均有形式统一并满足方程（1）的特殊解。因其推导过程均可逆，所以，我们只需对n=4k+1=8t+1=24h+1型正整数给出证明过程。
一般地，如果方程（1）有正整数解（n,x,y,z）,那么方程（1）一定形如(mn,mx,my,mz)的正整数解。所以，如果仅是讨论方程（1）是否有正整数解，只需讨论n=p为素数时是否有正整数解就可以了。
当n=p=24h+1为素数时，方程（3）化为
（4u+3）/[（24h+1）(u+6h+1)] =1/y+1/z (6)
在此我们不难看出，如果方程
（4u+3）/(u+6h+1)] =1/Y+1/Z (7)
有正整数解，那么方程（6）就一定有正整数解。由公式(G)可知，满足方程（7）有正整数解的必要条件，就是必须在(u+6h+1)中分解出两个因数A和B，且满足(4u+3)|(A+B)。事实上，我们利用方程（7）,以u为自变量，即可以完成对一切n=p=24h+1型素数均有满足方程（1）的正整数解的判定。为了直观，我们首先列出h对应的正整数表：
[3] （4） [8] [10] [13] （14） [17] [18] （19） (24) [25] [28] [32]
（39） （42） [43] {47} （48） <50> [52] （54） [55] [62] [67] （69） [73]
（74） （75） [78] [83] (84) {87} (88) (89) [90] [95] （99） ……
[1] 取u=0，则方程（7）化为
3/（6h+1）=1/Y+1/Z (8)
此时，由于(6h+1)≡1 (mod 3),方程是否有解，就要看（6h+1）的取值情况：
[1．1] 如果（6h+1）为素数，那么其只能分解出1和(6h+1)两个因数。但因为 3「（6h+1）, 3「2（6h+1）, 3「2 。我们不可能选取到适合的A和B，来满足3|(A+B)。所以此时的方程（8）没有正整数解。
[1．2] 如果（6h+1）为合数，不妨设e是其所含的任一因数。如果所有的e均为e≡1 (mod 3)，那么与[1．1]同理，此时的方程（8）没有正整数解。
[1．3] 如果（6h+1）为合数，不妨设e是其所含的任一因数。如果存在某个e为e≡2 (mod 3)，那么，我们只需取A=e,B=1，则必有3v=A+B,且v为正整数。于是推得方程（8）有正整数解Y=v(6h+1)/A，
Z=v(6h+1)/B。令e=3j+2,j∈N。由于(6h+1)一定是奇数，所以j也一定是奇数。于是推知e=5,11,17, ……。
若5|(6h+1),推得h=5s+4,s∈N。若11|(6h+1),推得h=11s+9,s∈N。若17|(6h+1),推得h=17s+14,s∈N。……。在h对应的数表中，把这些数据用（h）表达出来。
[2] 取u=1，则方程（7）化为
7/[2(3h+1)]=1/Y+1/Z (9)
[2．1] 如果7|(3h+1), 那么取A=B=7，即可推得v=2。于是推得方程（9）有正整数解Y=2(3h+1)/7，
Z=2(3h+1)/7。由7|(3h+1),推得h=7s+2,s∈N。在h对应的数表中，把这些数据用[h]表达出来。
[2．2] 如果（7e+6）|（3h+1），那么取A=（7e+6）,B=1，即可推得v=(e+1)。仿前例推得
e=1,2，4，5,7,8，……。(7e+6)=13,20，34，41,55,62，……。
若13|(3h+1), 推得h=13s+4,s∈N。若20|(3h+1), 推得h=20s+13，s∈N。若34|(3h+1), 推得h=34s+11，s∈N。若41|(3h+1), 推得h=41s+27，s∈N。若55|(3h+1), 推得h=55s+18，s∈N。若62|(3h+1), 推得h=62s+41,s∈N。……。在h对应的数表中，把这些数据用[h]表达出来。
[2．3] 如果（7e+5）|（3h+1），那么取A=（7e+5）,B=2，即可推得v=(e+1)。仿前例推得
e=0，2,3,5，6,8，……。(7e+5)=5,19，26，40,47,61,……。
若5|(3h+1), 推得h=5s+3,s∈N。若19|(3h+1), 推得h=19s+6,s∈N。若26|(3h+1), 推得h=26s+17,s∈N。若40|(3h+1), 推得h=40s+13,s∈N。若47|(3h+1), 推得h=47s+31,s∈N。若61|(3h+1), 推得h=61s+20,s∈N。……。在h对应的数表中，把这些数据用[h]表达出来。
[2．4] 如果（7e+3）|（3h+1），那么取A=2（7e+3）,B=1，即可推得v=(2e+1)。
仿前例推得e=1，2,4,5，7,8，……。(7e+3)=10,17，31，38,52,59,……。
若10|(3h+1), 推得h=10s+3,s∈N。若17|(3h+1), 推得h=17s+11,s∈N。若31|(3h+1), 推得h=31s+10,s∈N。若38|(3h+1), 推得h=38s+25,s∈N。若52|(3h+1), 推得h=52s+17,s∈N。59|(3h+1), 推得h=59s+39,s∈N。……。在h对应的数表中，把这些数据用[h]表达出来。
[3] 取u=2，则方程（7）化为
11/[3(2h+1)]=1/Y+1/Z (10)
[3．1] 如果11|(2h+1), 那么取A=B=11，即可推得v=2。于是推得方程（10）有正整数解Y=6(2h+1)/11，
Z=6(2h+1)/11。由11|(2h+1),推得h=11s+5,s∈N。在h对应的数表中，把这些数据用{h}表达出来。
[3．2] 如果（11e+10）|（2h+1），那么取A=（11e+10）,B=1，即可推得v=(e+1)。仿前例推得
e=1,3，5,7,……。（11e+10)=21,43,65，87,……。
若21|(2h+1), 推得h=21s+10,s∈N。若32|(2h+1),推得h=43s+21，s∈N。若65|(2h+1), 推得h=65s+32，s∈N。若87|(2h+1),推得h=87s+43，……。在h对应的数表中，把这些数据用{h}表达出来。
[3．3] 如果（11e+8）|（2h+1），那么取A=（11e+8）,B=3，即可推得v=(e+1)。仿前例推得
e=1,3，5,7,……。（11e+8)=19,41,63 ,85,……。
若19|(2h+1), 推得h=19s+9,s∈N。若41|(2h+1), 推得h=41s+20，s∈N。若63|(2h+1), 推得h=63s+31，s∈N。若85|(2h+1),推得h=85s+42，……。在h对应的数表中，把这些数据用{h}表达出来。
[3．4] 如果（11e+7）|（2h+1），那么取A=3（11e+7）,B=1，即可推得v=(3e+2)。仿前例推得
e=0,2,4,6,8,……。（11e+7)=7,29,51,73,94,……。
若7|(2h+1), 推得h=7s+3,s∈N。若29|(2h+1), 推得h=29s+14，s∈N。若51|(2h+1), 推得
h=51s+25，s∈N。若73|(2h+1),推得h=73s+36，……。在h对应的数表中，把这些数据用{h}表达出来。
[4] 取u=3，则方程（7）化为
15/[2(3h+2)]=1/Y+1/Z (11)
[4．1] 如果15|(3h+2), 那么3|（3h+2),显然，这不可能。
[4．2] 如果5|(2h+1), 那么取A=2，B=1，即可推得v=1。于是推得方程（11）有正整数解Y=(3h+2)/5，
Z=2(3h+2)/5。由5|(3h+2),推得h=5s+1,s∈N。在h对应的数表中，把这些数据用<h>表达出来。
[4．3] 如果（15e+14）|（3h+2），那么取A=（15e+14）,B=1，即可推得v=(e+1)。仿前例推得
e=0,1,2,3，……。（15e+14)=14,29,44,59,……。
若14|(3h+2), 推得h=14s+4,s∈N。若29|(3h+2), 推得h=29s+9，s∈N。若44|(3h+2), 推得
h=44s+14，s∈N。若59|(3h+2),推得h=59s+19，……。在h对应的数表中，把这些数据用<h>表达出来。
[4．4] 如果（15e+13）|（3h+2），那么取A=（15e+13）,B=2，即可推得v=(e+1)。仿前例推得
e=0,1,2,3，……。（15e+13)=13,28,43,58,……。
若13|(3h+2), 推得h=13s+8,s∈N。若28|(3h+2), 推得h=28s+18，s∈N。若43|(3h+2), 推得
h=43s+28，s∈N。若58|(3h+2),推得h=58s+38，……。在h对应的数表中，把这些数据用<h>表达出来。
[4．5] 如果（15e+7）|（3h+2），那么取A=2（15e+7）,B=1，即可推得v=(e+1)。仿前例推得
e=0,1,2,3，……。（15e+7)=7,22,37,52,……。
若7|(3h+2), 推得h=7s+4,s∈N。若22|(3h+2), 推得h=22s+14，s∈N。若37|(3h+2), 推得
h=37s+24，s∈N。若52|(3h+2),推得h=52s+34，……。在h对应的数表中，把这些数据用<h>表达出来。
……。
显然，以此方法持续下去，即可推得所有的n=4k+1=8t+1=24h+1型素数都有满足方程（1）的正整数解。
综上所述，利用公式(G)表达出的正整数组，使一切n>1的正整数满足方程（1）有正整数解（n,x,y,z）。
由于欧德斯猜想是埃及分数的一个特例，因此，在用初等方法解决了欧德斯方程的求解问题之后，也就为彻底解决埃及分数问题铺平了道路。
（说明：文中符号“「”表达意义为不整除。」
参考文献：
[1] 关永斌 关春河《欧德斯方程正整数解的一般公式》 http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=11565&show=25 2011-03-13
[2]潘承洞，潘承彪，《初等数论》，[M]，北京大学出版社，1992。
[3] 胡作玄，《毕达哥拉斯到费尔马》[M]，河南科技出版社，1998。
[4] 华罗庚，《数论导引》[M]，科学出版社，1979。
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发表于 2011-3-30 18:14
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