从 1,2,3,…,n 中任取相异的两数相乘，可得 n(n-1)/2 个乘积，它们的均值为 35 ，求 n

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

angel_phoenix99

类似思路

假如两个数可以重复选，则是排列n^2种可能(其中两者相等有n种取值)
∑pq=(n(n+1)/2)^2

∑n^2=(n-1)n(n+1)/3+n(n+1)/2

由于组合C(n,2)的平均值为35

则(n(n+1)/2)^2=35n(n-1)+∑n^2

代入后
3n(n+1)^2=4(n-1)(n+1)+420(n-1)+6(n+1)
3n^3+2n^2-423n+418=0
很显然n≤int(427/3)=11

418=2*11*19

2次以上多项式有整数解，必然会被常数项整除

很显然n=2不成立

余下唯一可能n=11
验算后满足

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。