[趣题欣赏] 刁番都的小题(希腊)

尚九天

[quote]下面引用由ysr在 2011/04/11 10:04pm 发表的内容：


此主题相关图片如下：
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哇塞！让后面那小子看上了，老尚打不过他。

尚九天

                        答
ysr先生：
    刁番都是最先研究不定方程的数学家之一，但其著作中没有给出不定方程较普遍的解法，这从刁番都关于上述两题的解法中可以看出。

    第一题，刁番都的解法
   
    设二数为 X^2，Y^2。则 X^2×Y^2+X^2 和 X^2×Y^2+Y^2 均为平方数。当 X^2+1
为平方数时，X^2×Y^2+Y^2 也是平方数。故可设
    X^2+1=(X-2)^2，从而得 X=3/4。
    又 X^2×Y^2+X^2 = 9/16(Y^2+1) 也必为平方数。令
9Y^2+9 = (3Y-4)^2，从而得 Y=7/24。
    故所求二数为 9/16 和 49/576 。

   第二题，刁番都的解法
    设一数为X与某立方数(如 2^3=8)之积 8X，另一数为 X^2-1。
    显然这样二数满足题设条件之一，
            8X(X^2-1)+8X = 8X^3 = (2X)^3 。
    又这二数还应满足题设的另一条件，即8X(X^2-1)+(X^2-1)亦应为立方数，假设令它等于(2X-1)^3，则
            8X(X^2-1)+(X^2-1) = (2X-1)^3
∴ X=14/13。
    故二数为 8×14/13 = 112/13，和 (14/13)^2-1 = 27/169 。
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    本小帖贴出，象只螃蟹，无人睬。先生是“第一个敢吃螃蟹的人”，祝贺先生！也谢谢先生！

trx

申一言

    哈哈！
          大狗熊还他妈真有两下子！可惜没有用在正道上！
          难道这也是“数”与形的结合吗？！
    数与形的结合！
                     
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ysr

[这个贴子最后由ysr在 2011/04/12 01:16pm 第 1 次编辑]

回12楼，可以是分数啊？谢谢！15楼的不好看，请不要再发！
2).求二数，使其积与二数中每一个数之和，均为立方数。
此题的整数解：
AB+A=C^^,AB+B=D^^,唯一整数解为:
A=C=0,B=D=1,对吗?

尚九天

下面引用由ysr在 2011/04/12 01:08pm 发表的内容：

回12楼，可以是分数啊？谢谢！15楼的不好看，请不要再发！
2).求二数，使其积与二数中每一个数之和，均为立方数。
此题的整数解：
AB+A=C^^,AB+B=D^^,唯一整数解为:
A=C=0,B=D=1,对吗?

先生果然敏锐，这只能是唯一整数解。