再构造两个图与张彧典先生共同讨论

雷明85639720

再构造两个图与张彧典先生共同讨论
雷  明
（二○一七年三月二十七日）

1、敢峰—米勒图：
敢峰—米勒图中分别有环形的A—B链和环形的C—D链（如图1），可以分别交换A—B环链内、外的任一条C—D链，使图变成K—构形而可约；也可以分别交换C—D环链内、外的任一条A—B链，使图变成K—构形而可约；还可以从1交换B—D或从3交换B—C，进行转型交换，使图变成赫渥特图型的图，再进行解决。

2、我构造的第一个图：
我仿敢峰—米勒图，也构造一个图（如图2）。图中只有环形的C—D链，应该说是一个类似赫渥特图型的图。无论从C—D环链内，还是从C—D环链外，交换A—B，所得到的图尽管不能直接变成K—构形，而仍然是交叉顶点更多的类赫渥特图类型的图。但它他却都是可同时移去两个同色的图，如图3和图4。还可以从1交换B—D或从3交换B—C，进行转型交换，使图变成可同时移去两个同色的图，如图5和图6。




3、我构造的第二个图：
还有一个类似图2的图（如图7）。图中既有环形的A—B链，又有环形的C—D链。交换A—B环链内、外两条C—D链，都不能得到K—构形（如图8），图仍然是原来有两条环形链的图；而交换C—D环链内、外两条A—B链，虽然得到的图与原图同样是有两条环形链的图，但却都是可以同时移去两个同色的图（如图9和图10）。该图还可以从1交换B—D或从3交换B—C，进行转型交换，使图变成可同时移去两个同色的图，如图11和图12。






4、几个图的对比分析：
首先把三个图画在一起，以好进行比较，如图13。三个图共同的特点是：都有两条共同起始顶点2A和交叉顶点8A的连通链A—C（红色）和A—D（绿色）；不同点是：敢峰—米勒图有过顶点1、2、3的环形链A—B，也有过顶点6和7的环形链C—D；我的第一个图只有环形的C—D链；我的第二个图也有环形的A—B链和环形的C—D链。有两条环形链的图中两条环形链之间的距离是最小的，即两条环形链之间处处都是只有一条边相邻的，也即两条环形链之间的距离是最短的。

敢峰—米勒图，从环链A—B内、外交换C—D，均转化成K—构形而可约；从环链C—D内、外交换A—B，均转化成交叉顶点更多的、可同时移去两个同色的K—构形；还可以从1或3进行转型交换，使图变成赫渥特图型的图。我的第一个图，无论是从环链C—D内，还是外，交换A—B，也均是转化为交叉顶点更多的、可同时移去两个同色的K—构形；也可以从1或3进行转型交换，使图变成可同时移去两个同色的K—构形。我的第二个图，交换A—B环链内、外两条C—D链，图仍然是H—构形；而交换C—D环链内、外两条A—B链，均可转化成可以同时移去两个同色的K—构形，还可以从1或3进行转型交换，使图变成可同时移去两个同色的K—构形。
有我在《最简单证明》一文给出了四个“十五点形”（如图14）的四种H—构形的不可免集，各有各的解决办法，证明了它个也都是可约的。图14，a着色时，是交换A—B环形链内、外的任一条C—D链；图14，b着色时，是交换C—D环形链内、外的任一条A—B链；而图14，c和图14，d着色时，则用交换B—D或B—C之一的转型交换。而图13中的三个图，每个图着色时，分别都用到了这里的三种方法。那么，它们应如何归入图14中的某一类呢，是一个直得研究的问题。

从各图的着色中可以看出，三个图共同的解决办法是：从环形的C—D链内、外交换A—B时，得到的图都是可以同时移去两个同色的K—构形；从环形的A—B链内、外交换C—D时，敢峰—米勒图直接可转化成K—构形，我的第二个构形则仍是H—构形，且交叉点更多；进行转型交换时，敢峰—米勒图转化成了类赫渥特图型的图，我的两个图则都直接转化成了可以同时移去两个同色的K—构形。
从图14中看，含有顶点1、2、3和顶点8的A—B圈，是不能与含有顶点4、5和顶点6、7的C—D圈同时存在的。敢峰—米勒图中环形的A—B链中，含有顶点1、2、3，但不含顶点8；而环形的C—D链中，只含有顶点6、7，但不含顶点4、5；归入图14，a一类比较合适。我的第一个图只有环形的C—D链，而没有环形的A—B链，环形的C—D链中正好全部含有顶点4、5和顶点6、7，归入图14，b一类是最合适的（赫渥特图也是归入了这一类）；我的第二个图中环形的C—D链中，也含有顶点4、5和顶点6、7，环形的A—B链中只含有顶点8，而不含有顶点1、2、3，所以归入图14，b一类也是比较合适的。
这三个图虽然都可以使用转型交换法，似乎可以归入图14，c或图14，d类，但从图的结构上看，图14，c和图14，d都没有环形的A—B链或环形的C—D链，A—B和C—D链都是直链（道路），把这样都有环形链的图归入图14，c或图14，d类是不合适的。
5、一个述语的叫法问题
还有一个问题，我们在过去的研究中，总说到“可同时移去两个色的构形”，这种提法看来是不科学的。因为：第一，固然它可以同时移去两个同色，这是正确的一面；第二，可它还可以把两个同色仍然保留下来，这又是不正确的一面。如我们上面研究中的图3，图4，图5，图6，图9，图10，图11，图12，都存在这种情况。看来还是把这种所谓“可同时移去两个同色”的构形统一叫做坎泊的K—构形比较合适。不管图中是否含有相交叉的连通链，只要能做到不转型，可以直接空出一种颜色给待关色顶点的，都可叫做K—构形。

5、请张彧典先生用你的颠倒法对这几个图进行一下4—着色，并用你的分类原则对这几个图进行归类。

雷  明
二○一七年三月二十八日于长安

注：此文已于二○一七年三月三十日在《中国博士网》上发表过，网址是：
   

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