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再构造两个图与张彧典先生共同讨论

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发表于 2017-3-30 09:56 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 雷明85639720 于 2017-3-30 03:08 编辑

再构造两个图与张彧典先生共同讨论
雷  明
(二○一七年三月二十七日)

1、敢峰—米勒图:
敢峰—米勒图中分别有环形的A—B链和环形的C—D链(如图1),可以分别交换A—B环链内、外的任一条C—D链,使图变成K—构形而可约;也可以分别交换C—D环链内、外的任一条A—B链,使图变成K—构形而可约;还可以从1交换B—D或从3交换B—C,进行转型交换,使图变成赫渥特图型的图,再进行解决。

2、我构造的第一个图:
我仿敢峰—米勒图,也构造一个图(如图2)。图中只有环形的C—D链,应该说是一个类似赫渥特图型的图。无论从C—D环链内,还是从C—D环链外,交换A—B,所得到的图尽管不能直接变成K—构形,而仍然是交叉顶点更多的类赫渥特图类型的图。但它他却都是可同时移去两个同色的图,如图3和图4。还可以从1交换B—D或从3交换B—C,进行转型交换,使图变成可同时移去两个同色的图,如图5和图6。




3、我构造的第二个图:
还有一个类似图2的图(如图7)。图中既有环形的A—B链,又有环形的C—D链。交换A—B环链内、外两条C—D链,都不能得到K—构形(如图8),图仍然是原来有两条环形链的图;而交换C—D环链内、外两条A—B链,虽然得到的图与原图同样是有两条环形链的图,但却都是可以同时移去两个同色的图(如图9和图10)。该图还可以从1交换B—D或从3交换B—C,进行转型交换,使图变成可同时移去两个同色的图,如图11和图12。






4、几个图的对比分析:
首先把三个图画在一起,以好进行比较,如图13。三个图共同的特点是:都有两条共同起始顶点2A和交叉顶点8A的连通链A—C(红色)和A—D(绿色);不同点是:敢峰—米勒图有过顶点1、2、3的环形链A—B,也有过顶点6和7的环形链C—D;我的第一个图只有环形的C—D链;我的第二个图也有环形的A—B链和环形的C—D链。有两条环形链的图中两条环形链之间的距离是最小的,即两条环形链之间处处都是只有一条边相邻的,也即两条环形链之间的距离是最短的。

敢峰—米勒图,从环链A—B内、外交换C—D,均转化成K—构形而可约;从环链C—D内、外交换A—B,均转化成交叉顶点更多的、可同时移去两个同色的K—构形;还可以从1或3进行转型交换,使图变成赫渥特图型的图。我的第一个图,无论是从环链C—D内,还是外,交换A—B,也均是转化为交叉顶点更多的、可同时移去两个同色的K—构形;也可以从1或3进行转型交换,使图变成可同时移去两个同色的K—构形。我的第二个图,交换A—B环链内、外两条C—D链,图仍然是H—构形;而交换C—D环链内、外两条A—B链,均可转化成可以同时移去两个同色的K—构形,还可以从1或3进行转型交换,使图变成可同时移去两个同色的K—构形。
有我在《最简单证明》一文给出了四个“十五点形”(如图14)的四种H—构形的不可免集,各有各的解决办法,证明了它个也都是可约的。图14,a着色时,是交换A—B环形链内、外的任一条C—D链;图14,b着色时,是交换C—D环形链内、外的任一条A—B链;而图14,c和图14,d着色时,则用交换B—D或B—C之一的转型交换。而图13中的三个图,每个图着色时,分别都用到了这里的三种方法。那么,它们应如何归入图14中的某一类呢,是一个直得研究的问题。

从各图的着色中可以看出,三个图共同的解决办法是:从环形的C—D链内、外交换A—B时,得到的图都是可以同时移去两个同色的K—构形;从环形的A—B链内、外交换C—D时,敢峰—米勒图直接可转化成K—构形,我的第二个构形则仍是H—构形,且交叉点更多;进行转型交换时,敢峰—米勒图转化成了类赫渥特图型的图,我的两个图则都直接转化成了可以同时移去两个同色的K—构形。
从图14中看,含有顶点1、2、3和顶点8的A—B圈,是不能与含有顶点4、5和顶点6、7的C—D圈同时存在的。敢峰—米勒图中环形的A—B链中,含有顶点1、2、3,但不含顶点8;而环形的C—D链中,只含有顶点6、7,但不含顶点4、5;归入图14,a一类比较合适。我的第一个图只有环形的C—D链,而没有环形的A—B链,环形的C—D链中正好全部含有顶点4、5和顶点6、7,归入图14,b一类是最合适的(赫渥特图也是归入了这一类);我的第二个图中环形的C—D链中,也含有顶点4、5和顶点6、7,环形的A—B链中只含有顶点8,而不含有顶点1、2、3,所以归入图14,b一类也是比较合适的。
这三个图虽然都可以使用转型交换法,似乎可以归入图14,c或图14,d类,但从图的结构上看,图14,c和图14,d都没有环形的A—B链或环形的C—D链,A—B和C—D链都是直链(道路),把这样都有环形链的图归入图14,c或图14,d类是不合适的。
5、一个述语的叫法问题
还有一个问题,我们在过去的研究中,总说到“可同时移去两个色的构形”,这种提法看来是不科学的。因为:第一,固然它可以同时移去两个同色,这是正确的一面;第二,可它还可以把两个同色仍然保留下来,这又是不正确的一面。如我们上面研究中的图3,图4,图5,图6,图9,图10,图11,图12,都存在这种情况。看来还是把这种所谓“可同时移去两个同色”的构形统一叫做坎泊的K—构形比较合适。不管图中是否含有相交叉的连通链,只要能做到不转型,可以直接空出一种颜色给待关色顶点的,都可叫做K—构形。

5、请张彧典先生用你的颠倒法对这几个图进行一下4—着色,并用你的分类原则对这几个图进行归类。

雷  明
二○一七年三月二十八日于长安

注:此文已于二○一七年三月三十日在《中国博士网》上发表过,网址是:
   

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