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从一个3—正则平面图的3—边着色到4—面着色

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发表于 2017-3-31 08:48 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 雷明85639720 于 2017-4-1 00:29 编辑

从3—正则平面图的3—边着色到4—面着色
雷  明
(二○一七年三月三十日)

我上午曾在网上求助网友帮助对一个3—正则平面图的3—边着色,现在我已作出来了,在这里与大家一起共享。
这个图是一个有30个顶点,有17个面(其中有5个6—边形面,有12个5—边形面),有45条边的可哈密顿的3—正则平面图(如图1)。该图的边数是顶点数的1.5倍,有偶数个顶点,这符合3—正则图的要求。顶点数加面数是47,边数加2也是47,平面图欧拉公式成立。

1、3—边着色:
第一步,划分边2——色圈:先把5—边形面①、②的顶点作为一个集团(共10个顶点),做一个边2—色圈(如图2);然后,沿顶点2—1—8—7—18—18—19—28—27—17—16—15—6—5—4—14—13—12走。到顶点12后有两条路线可走:一条是走12—11—10—2,回到出发点2(如图2)。但这时的顶点3,以及顶点9和顶点20都不可能再与别的顶点构成边2—色圈了,只能改变路线;二是走12—3—2回到出发点2(如图3)。这样,剩下的顶点11,10,9和20四个顶点,虽不能构成边2—色回路,但这四个顶点都是一个6—边形面③中的顶点,且与5—边形面②相邻,①、②、③三个面可以共同构成一个边2—色圈(如图4)。这是一个有12个顶点的偶数顶点集团。现在各顶点都被分划在两个集团之中,这便就构成了两个边2—色圈。


第二步,进行3—边着色:边2—色圈只点用两种颜色,且边数与顶点数相等,剩下的相当于一半顶点数的边的两端都只与着有1、2二色的边2—色圈中的顶点相邻,且这些边相互之间又全不相邻,所以着相同的第三种颜色是完全可以的(如图5),该图的3—边着色成功。


2、4—面着色:
该图4—面着色时,把1—2—1边2—色链内、外相间的着以A、B二色(如图6),把1—3—1边2—色链内、外相间的着以C、D二色(如图7),然后进行颜色叠加,得到着有四种颜色的该3—正则平面图(地图)的4—着色模式(图8和图9)。该图的4—面着色成功。




3、只要能证明任何3—正则的平面图都是可3—边着色的,也就证明了地图的四色猜测:
如何给一个3—正则图进行3—边着色,特别是如何找图中的边2—色圈,是一个很复杂的问题,一下子也说不清,道不白,理论上证明3—正则平面图的可3—边着色更是困难。但3—正则平面图的顶点数是偶数,边数是顶点数的1.5倍,这些基本的因素,又都给证明提供了条件。可3—边着色的3—正则平面图的可4—面着色,以用相批方向的可4—面着色的3—正则平面图的可3—边着色,都是很容易证明的。难就难在证明3—正则平的面图一定都是可3—边着色的这一点。所以,根据泰特的猜想“3—正则平面图的可3—边着色与其可4—面着色等价”,可以把证明四色猜测,变成只证明3—正则图(地图)的可3—边着色。只要能证明任何3—正则的平面图都是可3—边着色的,也就证明了地图的四色猜测。

雷  明
二○一七年三月三十日于长安

附:我的求助原文:

这个3—正则图能否3—边着色,请网友们帮助给以解决
雷  明
(二○一七年三月三十日)

我画了一个3—正则的平面图,图中有30个顶点,有17个面,其中有5个6—边形面,有12个5—边形面,有45条边。边数是顶点数的1.5倍,有偶数个顶点,这符合3—正则图的要求。顶点数加面数是47,边数加2也是47,平面图欧拉公式成立。

这个图是一个不可哈密顿的3—正则平面图,不可能一次遍履所有的30个顶点。顶点数(30个)比许寿椿教授在他的《图说四色问题》一书中给出的、那个1966年由Lederberg和Bosak分别构造的、由38个顶点构成的、所谓的“现今已知最小的非哈密顿的平面三次图”的顶点数还要小。是否我画的这个图才是“顶点数最小的非哈密顿的平面三次图”呢。
这个图是否可以3—边着色,我是作了多少次尝试,也未能成功,特请网友们帮忙作作。如果能作出来,我们有继续再研究3—正则平面图的3—边着色问题的必要;否则,就可以否定任何3—正则的平面图都是可3—边着色的命题。这个命题不存在,那么,即就是一部分3—正则的平面图是可3—边着色的,也不能说明任何3—正则的平面图都是可4—面着色的。四色猜测也就得不到证明是正确的。所以说泰特猜想“任意2—连通的3—正则平面图的可3—边着色等价于其可4—面着色”也就是错误的。只能说对于一部分可哈密顿的3—正则平面图来说,其可3—边着色是等价于其可4面着色的。并不迁用于任何的3——正则的平面图。
如果是这样,就就大家在证明四色猜测时,不要再走寻求“任意3—正则的平面图都一定是可3—边着色”的这条路了。

雷  明
二○一七年三月三十日于长安


注:此文已于二○一七年三月三十一日在《中国博士网》上发表过,网址是:

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