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数学中三种新的数量形式
欧阳耿
（漳州师范学院 数学系，福建 漳州 363000）
摘要： 分析了传统无穷理论体系及与之相关的数学内容中的缺陷，提出数学中三种新的数量形式，并构造了一个与新无穷观相对应的新数谱。
关键词： 无穷小悖论；调和级数悖论；无穷大悖论；过渡小；过渡大；彦；数谱；完整数系
中图分类号：O144．2 文献标识码：A 文章编号：1006 – 432 X（2003）03 – 0031-07
在[1~9]中，我们知道由于传统有穷-无穷理论体系及相关数量形式存在缺陷，导致现有的数学中存在下列缺陷：
（1）人们无法认识数学中客观存在的“无穷小”。在传统有穷-无穷理论体系框架里的第一代数学分析理论中，由于人们无法认识求导数过程中的微增量dx是什么，从而引发第二次数学危机。但由于第二代、第三代数学分析理论也都是在传统的有穷-无穷理论体系框架中建立的，它们也必然无法认识dx是什么。第二代、第三代数学分析理论根本就不具备解决第二次数学危机的能力。由于工作思路的错误和传统有穷-无穷理论体系及相关数量形式的束缚，人们无法认识数学中客观存在的X 0的数量形式，使第二代、第三代数学分析理论的工作各自成了一场对dx改名换姓的运动，但人们很快发现引发第二次数学危机的dx悖论岿然不动[1]。
（2）人们无法处理数学中客观存在的“无穷小”。如果说数学分析中的无穷小悖论可用改名换姓的方法来满足人们感官上的需要而换取一时的平静，那么对调和级数悖论的处理就不可能那么简单。因为在用加括号法证明其敛散性时，对于调和级数中无数X 0的数量形式：Un 0，Un+1 0，…，人们无法像在三代数学分析理论中那样，让它们“先不为零，运算后才令其为零”或“先不取极限，运算后才取其极限”或“先不取标准数，运算后才取其标准数”。如果按常规做法，可在n 时就对调和级数中所有X 0的数量形式取极限，则级数中limun = 0, lim un+1=0,．．．，limun+a=0．．．全部为零，而使加括号法无法无穷地进行下去，根本没办法得到无穷多个大于1/2的量。如果在n 时不对调和级数中所有X 0的数量形式取极限，则级数中limun = 0, lim un+1=0,．．．，limun+a=0．．．全部不为零，而使加括号法可以无穷地进行下去，人们确实可以得到无穷多个大于1/2的量。但是这时却出了一件荒谬的事：我们可以用同样的道理，将Un 0的无穷常减的调和级数改造成Un 的无穷常增级数。在调和级数的敛散性证明中，
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收稿日期：2003-06-20
作者简介：欧阳耿（1957—），男，福建省漳州市人，漳州师范学院副教授，从事数学悖论和数学基础理论研究．
人们无法用任何现行的数学理论来分析、认识、处理调和级数中limun = 0, lim un+1=0,．．．，limun+a=0．．．这类数量形式，无法真正知道“加括号法”究竟能使我们得到多少个大于1/2的量，无法真正知道Sn究竟有多大。可见，在此人们不仅无法分析、认识X 0的数量形式，也无法分析、认识Y 的数量形式。这都是由传统无穷观及其相对应数谱的缺陷所导致的[5]。
（3）人们无法认识与处理数学中客观存在的“无穷大”。自从有了无穷概念及相关理论后，不可避免地有了无穷小概念，数学中存在有一种无穷小的数量形式被确认。与此同时，人们也有了无穷大概念，数学中存在有一种无穷大的数量形式，也被确认。（如何称呼这两种数量形式另当别论）。人们认为康托对数学中的无穷大数量形式做了一些开创性的、实质性的工作。但仅承认无穷大而不承认无穷小，因此，康托的无穷观仅仅是个与无穷大相关的无穷观，是一种不够彻底、不成体系的无穷观。所以，康托不可能真正认识“无穷”概念的意义，不可能真正认识“无穷大”的意义，不可能建立科学的实无穷理论体系去为自己无穷集合论中的工作打下坚实的理论基础，从而使在他所创立的无穷集合论中与“无穷大”相关的理论及某些具体数学内容中存在缺陷[2~7]。
1.数学中与“无穷小”相关的难题
可以说，自从有了“无穷”和“极限”概念以来，人们就知道数学中存在着一种大于0、小于任给正数的数学内容。微积分的发现则以微增量dx的形式将这样一种客观实在的数学内容放到一个重要的地位上。科学史表明，人类离不开微积分这一有效的数学工具，而微积分却需要与微增量密切相关的基础理论。在[5]中将传统无穷观中不同时期内与不同dx观相对应的数学分析理论分成第一、第二、第三代理论。正如我们所知道的那样，第一代理论导致了第二次数学危机，而第二代理论与第三代是等价的。人们一向认为第二代理论由于抛弃实无穷小采用潜无穷小，从而成功地解决了第二次数学危机。因为“ ”语言已从数学上回答了dx是什么的问题，从而使我们得到了一套“严格的”微积分理论，这对当时苦于无法回答dx是什么的人来说，无疑是一大进步。但只要仔细考察，就会发现，人们实际上是不知不觉地把矛盾转移到用来定义dx的那两个正数“ ”与“ ”上。在第一代理论中人们不知dx是什么东西，仅用语言来描述它们（并且还描述得极不清楚），而无“严格的”数学定义；可是在第二代理论中情况更糟，人们甚至不知道这两个新引进的“ ”、“ ”是什么东西， 与 并没有得到令人满意的定义。可见，在第二代理论中，人们实际上是用两个没有严格定义的数量形式去“严格”地定义微增量dx，从而产生一种巧妙的效果：dx在形式上得到了定义，使人们在心理上得到了满足。实际上，人们处在与第一代理论中不知道dx是什么的完全相同的境地：不知道 与 是什么，仅仅是转嫁了矛盾而已。此外，还发现 与 似乎就是非标准分析中所定义的实无穷小，只不过是在第二代中，这样的数学内容被叫做“不论多小的正数”，而在第三代中它们被换了名称，叫“实无穷小”。也就是说，人们当时是超前采用标准分析建立100多年后才发现的、类似实无穷小的东西，去定义理论中的潜无穷小。当然，我们不否认第二代数学分析理论的贡献，它建立了实数连续统，建立了一系列的判别准则、运算法则，推动了当时微积分所有运算的发展（然而有了非标准分析后，事实证明，用实无穷小理论人们同样能完成那些任务）。
在数学分析的求导数运算中，人们还目睹了形为“X 0”的数学内容在同一个运算过程中的两种表现，但是对此无法解释。这两种表现是一对矛盾，贝克莱悖论是冲着这对矛盾而来的。由这对矛盾导致了第二次数学危机。dx的第一种表现指的是它从进入算式直到它被赶出算式前的表现，这时完全看不出它跟有穷数有什么区别，可以跟算式里的所有有穷数（或叫标准数）进行运算，它必须呆在算式里，具有保留在算式里的一切资格；第二种表现则是指运算最后一步dx的表现，这时它一直都具备的那种资格一下子全消失了，并被毫不犹豫地赶出了算式。在第一代理论中人们令其为0，在第二代理论中人们搬出“ ”语言取其极限，在第三代中则是“取标准数”。但问题是这个微增量dx从头到尾是同样的一个dx。如果有人说要在运算一开始或半途就令dx为0，就对它取极限或取标准数，这是绝对不允许的，可是我们有什么理由反对他吗？我们所能回答的只能是：大家“约定”不在“那个时候”、而要在“这个时候”令其为0，对其取极限或取标准数。不幸的是，“约定”、“那个时候”、“这个时候”这几个概念随意性太大了，根本从未得到定义，从而种下了“随意性操作”的祸根。
让我们来看看数学中由传统“有穷-无穷”概念体系的理论框架所决定的数谱：
0（零，zero）, 0 (无穷小，infinitesimal), （有穷数，finite number）， (无穷大，infinity)
三代数学分析理论都是在传统“有穷---无穷”概念体系的理论框架中，在这样的数谱中进行思维的，每一代数学分析理论中的所有数量形式无论名称怎么变，也变不出这个数谱的范围。对于微增量dx（实际上是所有形如X 0的数学内容）来说，数学的历史使我们看到，在这样的数谱中，不管你用什么样的语言去描述它，它永远也逃脱不了“是无穷小”的命运----不管是标准分析中的潜无穷小或非标准分析中的实无穷小。所以[5]中肯定了三代数学分析理论本质上是完全等价的。在现有的“有穷---无穷”概念体系的理论框架中，第二次数学危机根本不可能得到解决。
正是由于在传统“有穷---无穷”概念体系的理论框架及与其相关的数谱中，无法分析、认识数学中形如X 0的数学内容所表示的数学意义，所以必然有古老的芝诺悖论、微积分中的微增量悖论以及新发现的调和级数悖论。数学分析几百年的历史告诉我们，在求导数的操作中，人们已经知道正确结果该是什么，所以，对微增量dx不管说它是实无穷小也好潜无穷小也好，用“令”的办法或用“取极限”、“取标准数”的办法将它赶出算式也好，对人们的实际操作都毫无影响。在整个求导数过程中解释微增量行为的“约定”、“那个时候”、“这个时候”这几个概念尽管无严格定义也可凑合，反正dx就该如此这般表现，那一个带给我们正确的结果就说明它的表现是正确的。数学的历史也说明了所有微积分运算并不因为不知微增量dx是什么而停止发展。可是也不得不承认，就是这样的一个悬而未决的dx理论难题，却耗费了人类无数时间与精力，这个dx究竟是什么？无穷小究竟是什么？
2． 调和级数悖论所揭示的、同时与“无穷小”和“无穷大”相关的问题
对调和级数问题的研究有一个很关键性的内容就是：如何分析、认识调和级数中无数Un 0，Un+1 0，…的数项。如何认识与处理这类数量形式，直接决定调和级数的敛散性。这里的情形与如上求导数运算中dx的复杂情况不同，不需要也不允许存在类似“先不让它无限趋于零、不对它取极限而让他参与运算，然后让它无限趋于零、对它取极限而将它从算式中赶走”的情况。在Oresom所给出的调和级数发散性证明中，在用加括号法则来改造调和级数的运算时所面临的所有那些Un 0，Un+1 0，…的数项只可能有一种状态：要么全部不对它们取极限，它们全部不为零而使加挂号法则可以永远进行下去，这样真的可得到无穷多个大于1/2的量，Sn ；要么全部对它们取极限，它们全部为零而使加挂号法则没办法永远进行下去，从而无法得到无穷多个大于1/2的量，Sn根本不具备趋于 的条件。由于极限论从来没有明确地告诉人们该何时取极限，所以上述两种做法在极限论中都是允许的，都会导致悖论。这种局面赤裸裸地暴露了极限论的致命缺陷-----不知该在什么时候对形如X 0的数学内容取极限，不知道在什么情况下才会出现Y 的数学内容，而是凭经验来决定。在别的场合，人们随便决定取极限的时刻或许不会产生不良后果，但在调和级数的敛散性证明中，该在什么时候对调和级数中无数Un 0，Un+1 0，…的数量形式取极限，却决定了人们是否真的能用加括号法则来改造调和级数而得到无穷多个大于1/2的量的问题，从而决定调和级数的敛散性本质。人们清楚地看到，对这级数中的两个重要信息：n 和Un 0 没有进行足够认真的分析（其实是没有能力），对如何处理 调和级数中无数Un 0，Un+1 0，…的数量形式心里无数，无原则可循，随意就给出Sn 的结论[5]。
极限论本来是为了处理“无穷小”、“无穷大”这类数量形式而产生的，但在求导数运算中和调和级数的敛散性证明中，如何分析、认识、处理X 0的数学内容的问题却清楚地告诉我们：极限论其实并不能处理实际数学内容中许多X 0的数量形式。最根本的原因就是极限论中对“该在何时取极限”这个理论问题几乎是个空白。事实证明，现有极限论中的“取极限”是种很随意性的行为，完全凭经验行事。这一切归根到底是由于无法认识X 0、Y 的数学内容所导致的。当然，在传统“有穷-无穷”理论体系及与之相关的数谱中，极限论仅能以那样的形式存在。极限论的这一致命缺陷及调和级数悖论的产生是由传统“有穷-无穷”概念体系的理论框架及与其相关的数谱的缺陷所导致的。新无穷观及其相应数谱的产生必然引起极限论的革命。
3现有数学中的“无穷大”问题
传统的无穷理论体系分化成“潜无穷”与“实无穷”两大学说。潜无穷学说认为：凡是具有“无穷”性质的内容就应该永远处于无穷无尽的、变化不定的状态之中，只要失去这种状态，这样的内容就失去了无穷的性质而变成一种“非无穷的内容”。实无穷学说否认潜无穷学说那种“无穷无尽的、变化不定的”观点。康托是实无穷学说的代表，他认为数学中的无穷内容就是一种数学实体，一种实实在在的数量形式。但它仅承认实无穷大数的真实性而否认实无穷小数的真实性，所以在丰富多彩的“实无穷领域”里，他的工作实际上仅限于“实无穷大”的范围。遗憾的是康托没有给我们留下任何能够自圆其说、自成体系的在哲学中或数学中实无穷大存在性的理论证明[7]。作为实无穷论者，从康托一贯反对实无穷小数这一事实可看出康托的无穷观是片面的-----可称康托的这种片面无穷观为“偏无穷观”。而他的这种“偏无穷观”必然导致他的实无穷理论不够彻底，无法自成体系，从而影响到他的某些数学研究的客观性及科学性，导致他在某些数学创造活动出现失误或互相矛盾。实际上在康托的无穷观中有两种无穷大的概念：第一种是可以无限延伸、变大的无穷大，即潜无穷观中的那种潜无穷大；第二种指的是第一种无穷大中的某部分。这两种无穷大概念在康托制造超穷数-----“实无穷大数”的操作中和康托用区间套法、对角线法去证明实数集合不可数的做法中表现得淋漓尽致：康托用第一、第二、第三生成原则来制造实无穷大数，实际上就是用“定义法”或“中断法”将自己不得不承认的第一种无穷大数学内容----“潜无穷大”加以切割、分段，然后将所分割下来的每一部分叫做一个实无穷大数（在这过程中是以潜无穷大的无限延伸性来保证所有分割工作的有效进行），并用“ ”来表示与第一种无穷大“ ”（康托将“ ”叫做一般概念中的无穷大）的区别。在此，康托以承认潜无穷数学内容的客观性为前提制造出实无穷数学内容，然后又以实无穷学者的身份来反对潜无穷的概念。但由于康托的无穷观不成体系，所以他自己根本没办法弄清楚“ ”与原来的“ ”异同点在哪里，更不用说要从理论上和实践上告诉别人“ ”与原来的“ ”异同点在哪里。所以在具体的数学操作中，如何注意“ ”与“ ”的区别无人知晓。实际上二者可以是毫无区别，最典型的例子表现在康托用区间套法和对角线法对实数集合不可数性的证明[2~7]。在这类证明中，康托用定义先构造出一个属于“ ”性质的序列[2]
w1,w2 ,w3 ,．．． ,wv , ．．． 或 , , , ,…, ,…
但却将这证明中所构造出的这个“ ”混同于“ ”，一口咬定“ ”就是这里的“ ”。然后用区间套法和对角线法找出能说明这里的“ ”确实不同于“ ”的事实，巧妙地（实际上是变魔术般地）得到所需的结论。
由于康托缺乏与自己的工作相应的的无穷理论体系，所以他无法摆脱潜无穷观的束缚，无法摆脱传统无穷观及其相关数谱的束缚，仅承认无穷大而不承认无穷小，既承认潜无穷大“ ”又反对潜无穷概念，无法认识自己所创造的实无穷大数“ ”是什么，无法知道“ ”与“ ”之间的异同点。现有集合论中存在一个理论空白：为什么无穷集合之间可以比大小，为什么“无穷大”之间可以比大小？
4.传统无穷观所对应数谱的缺陷与三种新数量形式的发现
在传统的无穷理论体系中，哲学中的无穷观与数学里的无穷观并没有什么本质性区别。其核心概念是“无穷”，指某存在之物在大、小，多、少或长、短等性质上的没有止境。在传统无穷观中“无穷”仅是个定性的概念，具体可表示为没有限度、无始无终、无边无际、不可穷尽、有始无终、无穷大、无穷小、无穷集合等。“无穷”这个概念的地位使它成为古今中外哲学家与数学家关注、探讨、争论的重要内容，并由此产生了实无穷与潜无穷两大具有本质性区别的学说[6]。
实无穷学说认为存在着无穷实体、无穷总体，如数学中的实无穷小、实无穷大、无穷集合、超穷数，等等。它们是现实的、存在的、完成的实体或整体，是可以认识、把握、抓住的东西。但遗憾的是在实无穷学说里，人们无法找到明确的、可以始终如一的“无穷”概念的定义，从这一事实来看，作为一种理论、一种学说，实无穷学说远不如潜无穷学说！由于在实无穷学说里“无穷”概念没有得到明确定义，这使实无穷学说者可以有很大的随意性，可以在“潜无穷”与“实无穷”之间任意通行，为日后的错误及悖论播下了种子。
实无穷学说想对无穷内容进行定量描述，这样的思路肯定是正确的。但问题是实无穷学说没有构造与之相关的基础理论：实无穷学说者仅是隐约感觉到潜无穷学说的某些不足，感觉到现实世界中确实存在某些非潜无穷学说所能认识、把握的东西。实无穷论者仅能凭感觉、凭信念去工作，理论与实践严重脱节，从而导致错误与悖论的产生。
潜无穷学说产生的历史比实无穷学说的历史早得多。它明确自己以传统无穷观为基础理论，认为无穷就是没有止境，所以任何与无穷相关的内容必永远处于发展、创造的过程中，无穷内容里面的元素永远在增多或其数值在不断地变小或变大。如果某时它停止了这种变化，就失去了无穷的意义，就不是无穷了。所以根本不可能存在什么跟有穷数有同样数学意义的实无穷数，如实无穷小数或实无穷大数、超穷数。当然在潜无穷学说里，无穷内容也是可以认识和把握的，但必须通过极限论来认识它们。潜无穷学说的观点导致极限论的产生。
由于潜无穷学说坚持“无穷”仅是个定性的概念，因此不将与无穷相关的数学内容看成是数而仅将其当作一种说话的方式。最典型的口号是“无穷小、无穷大不是数”。但数学离不开定量描述，潜无穷学说想在数学中生存就必须能完成数学中有关定量描述任务。在文献[5]中表明至今未解决的无穷小悖论及调和级数悖论都说明了极限论根本无法从量上认识和把握与无穷相关的数学内容。对潜无穷学说的有关讨论见文献[7~9]。
传统无穷理论体系几千年来没有什么实质性的进步，仍然停留在其原始、粗糙、片面的状态中。芝诺悖论、第二次数学危机、调和级数悖论及第三次数学危机分别从几个不同角度暴露了传统无穷观的缺陷。所以，解决现有哲学、数学中与无穷概念相关的诸多问题的根本出路在于改造传统无穷观，建立既可对“无穷”定性又定量的较客观的、科学的、现代的无穷理论体系，构造与新的无穷观相对应的新数谱。
数学中与传统无穷观相对应的数谱为：
0 （零，zero），0（无穷小，infinitesimal）， （有穷数，finitenumber）, (无穷大，infinity)
迄今为止，人类与“无穷”概念相关的所有数学活动都是在这个“古典数谱”的范围内思维的。
我们发现了三种新的数量形式----过渡小、过渡大、彦，构造了与新的无穷观相对应的新数谱：
0（零,zero），0（无穷小,infinitesimal），0（过渡小,intersmall）, （有穷数，finitenumber）, (过渡大，intergreat), (无穷大，infinity), (彦，yan)
在新的有穷、无穷理论体系和与之对应的新数谱中抛弃了“实无穷’”，“潜无穷”概念。传统无穷观的缺陷，不仅束缚了人们的思路，还将人们引人误区，使人们无法认识与无穷概念相关的各种数量形式，导致了永远不会有结果的“实无穷学说”与“潜无穷学说”之争。
三种新数的发现及与之对应的数谱的产生是对“数”的认识的一大飞跃，标志着新的无穷观的产生，使我们有条件科学地认识现有数学中与无穷概念相关的数量形式（它们的特点、之间的区别），不仅使与无穷相关的“数”的理论系统化，而且能够成功解决那些与无穷概念相关的数量形式所引起的难题与悖论。
“彦”的发现是对“零”的意义的补充，使“零”的理论更加完善。零的定义是“无”，而彦的定义是“有”。这是一对与数值的“多、少”，“大、小”完全无关的概念。一对自身没有大小意义的数值，却说明了数值意义、数值大小意义的特殊数量形式。所以，再小的数也不是零，再大的数也不是彦。人类使用零的历史证明了我们离不开这样一类特殊的数量形式。数学中不能没有零，也不能没有彦，由于有了这对特殊的数量形式，使“数”的理论得以完善，使与之相关的数谱有条件成为一个完整的数量体系。
由于“彦”的发现，使“大”与“小”的理论更加完善。没有绝对的“大、小”概念，只有在特定的“零”与“彦”意义规定下的特定的大小概念；没有最小的无穷小，也没有最大的无穷大。
过渡数是介于有穷数与无穷数之间的数量形式，但它不是模糊数学中的模糊数，不是灰色数学中的灰色参数，也不是传统无穷观中的实无穷，而是一类全新的数量形式（[5]中所讨论的求导数过程中的dx是过渡小的例子，而调和级数中的Sn及康托的超穷数 就是过渡大的例子）。传统无穷观束缚了人们的思想，而与之相关的数谱又给人们设置了一道无法逾越的障碍，所以，不管如何努力，人们始终无法分析、认识数学中原来那些形如X 0 、Y 的数量形式所表示的数学意义。因为在三代数学分析理论中所碰到的形如X 0的数量形式不仅需要被用来表示无穷小，而且也要被用来表示过渡小或零，实则是一种无穷小与过渡小及零的混合概念；而形如 Y 的数量形式实则是一种过渡大、无穷大与彦的混合概念。因此，在传统无穷观及与之相关的数谱中，不管是用任何文字语言或数学语言都无法清楚地告诉人们求导数过程中的dx是什么、调和级数中的Un 0是什么，无法清楚地告诉人们调和级数中的Sn是什么和康托的超穷数 是什么，它们根本无法得到定义。我们所碰到的不是该用什么语言去描述、定义它们的问题，而是根本就不知道它们是什么的问题。这导致了与原来的无穷小、无穷大概念相关的难题与悖论的产生，同时也必然使我们对它们束手无策。正因为这样，才能在[1]中很肯定地说三代数学分析理论是完全等价的，它们会产生相同的谜与悖论，也都没有能力去解决这些谜与悖论。康托用区间套法及对角线法所证得的实数集合不可数结论是错误的，康托定理 是错误的[7]。
我们将与如上新数谱所对应的数量体系叫“完整数系”。因此要小心地分析原来所有形如X 0的数学内容，区别出什么该属无穷小，什么该属过渡小，什么该属零。要小心地分析原来所有形如Y 的数学内容，区别出什么该属过渡大，什么该属无穷大，什么该属彦。显然，有许多工作要做，但这些工作主要解决的是一些理论问题，并不影响原来数学中绝大多数内容的科学性，特别是那些与具体数值大小相关的应用数学部分。
显然，新数与新数谱的产生填补了数学大厦中的某些空白。比如说在与无穷小相关的领域中，由于缺乏完整的数谱，而使原来数学分析中的“分析”工作难以进行，有时甚至无法进行。所以，有时数学分析中的“分析”概念形同虚设，对所要处理的形如X 0的数学内容不必要去分析、认识它们是什么（实际上也没有能力去分析、认识它们是什么）。“数学分析”成了简单的“数学操作”，成了一种简单的、但却是神秘的“工艺流程”。新的数谱使我们可以数学地解决离散与连续，静止与运动的矛盾。
5.结论
从古人神奇地想象出一对兔子和两天都是数字“2”那天起，直到人们用各种数谱中的各种数量形式来表达自己的抽象能力这一天止，这是一条漫长而艰苦的道路。这条道路由许许多多的人用时间与汗水来浇筑，伴随着人类的发展史往前延伸，给人类带来一个个美不胜收的景象。
数学中与新的无穷观相对应的三种新的数量形式的发现与新数谱的产生对数学、哲学乃至整个人类科学都将产生巨大影响。
参 考 文 献
（１）欧阳耿，数学分析中悬而未决的问题（J）．吉安师范专科学校学报（自然科学版），1995，16（5）：29－34．
（2）欧阳耿，康托关于实数集合不可数的证明是错的（J）．黑龙江水利专科学校学报，1998，25（4）：116－117．
（3）欧阳耿，现有集合论中一种神秘的错误（J）．西北大学学报（自然科学版），2000，30（4）：8－11．
（4）欧阳耿，重新认识第三次数学危机（J）．咯什师范学院学报（自然科学版），2000，20（2）：69-72．
（5）欧阳耿，重新认识第二次数学危机（J）．咯什师范学院学报（自然科学版），2002，23（3）：82-86．
（6）欧阳耿，数学中实无穷与潜无穷的几个问题（J）．吉安师范专科学校学报（自然科学版），1998，19（6）：26－28．
（7）欧阳耿，罗素悖论与康托在集合论中的两个失误（J）．贵州师范大学学报（自然科学版），2002,20(3):81-84
（8）欧阳耿，数学中与新的无穷观相对应的新数谱（J）．黑龙江水利专科学校学报，1996，23（2）：61－62．
（9）欧阳耿，数学中的新数谱（J）．吉安师范专科学校学报（自然科学版）．1996，17（5）：7－10．
On Three New Number Forms in Mathematics
OUYANG Geng
(Department of Mathematics, Zhangzhou Teachers’ College, Zhangzhou 363000, Fujian, China)
Abstrat: The defects in present finite-infinite theory and the relating mathematical contents are studied. Three new number forms in mathematics are discovered and a new number spectrum is constructed.
Key words: the paradox of infinitesimal; the paradox of harmonious series; the paradox of infinity; intersmall; intergreat; yan; number spectrum; complete number system
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发表于 2006-3-16 06:59
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