已知正整数 n ，求无穷级数之和 ∑(k=1,k≠n,∞)1/(k^2-n^2)

boob

无穷级数和

luyuanhong

xfhaoym

哈，LZ的解题象变戏法一样，没看懂！

王守恩

xfhaoym 发表于 2017-4-11 09:14
哈，LZ的解题象变戏法一样，没看懂！

向陆老师致敬！

王守恩

xfhaoym 发表于 2017-4-11 09:14
哈，LZ的解题象变戏法一样，没看懂！

这串数太好了！忍不住还是骚扰一下。

1，无限化有限。
\(\displaystyle\sum_{k=1,k\ne n}^{\infty}\frac{1}{k^2-n^2}=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^2-n^2}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n^2-k^2}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{2nk}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(2n-k)k}\)

2，从简单算起。展开\(\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{2nk}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(2n-k)k}\)
\(n=1:\frac{1}{02}+\frac{1}{04}-0=\frac{3}{4}\)
\(n=2:\frac{1}{04}+\frac{1}{08}+\frac{1}{12}+\frac{1}{16}-\frac{1}{1*3}=\frac{3}{16}\)
\(n=3:\frac{1}{06}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}+\frac{1}{24}+\frac{1}{30}+\frac{1}{36}-\frac{1}{1*5}-\frac{1}{2*4}=\frac{3}{36}\)
\(n=4:\frac{1}{08}+\frac{1}{16}+\frac{1}{24}+\frac{1}{32}+\frac{1}{40}+\frac{1}{48}+\frac{1}{056}+\frac{1}{064}-\frac{1}{1*7}-\frac{1}{2*6}-\frac{1}{3*5}=\frac{3}{64}\)
\(n=5:\frac{1}{10}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{40}+\frac{1}{50}+\frac{1}{60}+\frac{1}{070}+\frac{1}{080}+\frac{1}{090}+\frac{1}{100}-\frac{1}{1*9}-\frac{1}{2*8}-\frac{1}{3*7}-\frac{1}{4*6}=\frac{3}{100}\)
\(n=6:\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{36}+\frac{1}{48}+\frac{1}{60}+\frac{1}{72}+\frac{1}{084}+\frac{1}{096}+\frac{1}{108}+\frac{1}{120}+\frac{1}{132}+\frac{1}{144}-\frac{1}{1*11}-\frac{1}{2*10}-\frac{1}{3*9}-\frac{1}{4*8}-\frac{1}{5*7}=\frac{3}{144}\)
\(n=7:\frac{1}{14}+\frac{1}{28}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{70}+\frac{1}{84}+\frac{1}{098}+\frac{1}{112}+\frac{1}{126}+\frac{1}{140}+\frac{1}{154}+\frac{1}{168}+\frac{1}{182}+\frac{1}{196}-\frac{1}{1*13}-\frac{1}{2*12}-\frac{1}{3*11}-\frac{1}{4*10}-\frac{1}{5*9}\)
\(n=8:\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{48}+\frac{1}{64}+\frac{1}{80}+\frac{1}{96}+\frac{1}{112}+\frac{1}{128}+\frac{1}{144}+\frac{1}{160}+\frac{1}{176}+\frac{1}{192}+\frac{1}{208}\)
\(n=9:\frac{1}{18}+\frac{1}{36}+\frac{1}{54}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}\)
观察：
n=1：2个加数。(2个加数2：1)
n=2：4个加数，1个减数。第1个加数+第3个加数=减数。(剩下2个加数2：1)
n=3：6个加数，2个减数。第1个加数+第5个加数=减数1，第2个加数+第4个加数=减数2。(剩下2个加数2：1)
n=4：8个加数，3个减数。第1个加数+第7个加数=减数1，第2个加数+第6个加数=减数2，第3个加数+第5个加数=减数3。(剩下2个加
n=5：  个加数，4个减数。第1个加数+第9个加数=减数1，第2个加数+第8个加数=减数2，第3个加数+第7个加数=减数3，第4个
n=6：  个加数，5个减数。第1个加数+第  个加数=减数1，第2个加数+第  个加数=减数2，第3个加数+第9个加数=减数3，第4个
n=7：
n=8：

王守恩

xfhaoym 发表于 2017-4-11 09:14
哈，LZ的解题象变戏法一样，没看懂！

重要(链消!!!)的话重复一遍。

\(我们有：\frac{1}{a*b}=\frac{a+b}{a*b*(a+b)}=\frac{b}{a*b*(a+b)}+\frac{a}{a*b*(a+b)}=\frac{1}{a*(a+b)}+\frac{1}{b*(a+b)}\)
\(n=2:\frac{1}{1*03}=\frac{1}{1*04}+\frac{1}{03*04}\)
\(n=3:\frac{1}{1*05}=\frac{1}{1*06}+\frac{1}{05*06},\frac{1}{2*04}=\frac{1}{2*06}+\frac{1}{04*06}\)
\(n=4:\frac{1}{1*07}=\frac{1}{1*08}+\frac{1}{07*08},\frac{1}{2*06}=\frac{1}{2*08}+\frac{1}{06*08},\frac{1}{3*05}=\frac{1}{3*08}+\frac{1}{5*08}\)
\(n=5:\frac{1}{1*09}=\frac{1}{1*10}+\frac{1}{09*10},\frac{1}{2*08}=\frac{1}{2*10}+\frac{1}{08*10},\frac{1}{3*07}=\frac{1}{3*10}+\frac{1}{07*10},\frac{1}{4*06}=\frac{1}{4*10}+\frac{1}{06*10}\)
\(n=6:\frac{1}{1*11}=\frac{1}{1*12}+\frac{1}{11*12},\frac{1}{2*10}=\frac{1}{2*12}+\frac{1}{10*12},\frac{1}{3*09}=\frac{1}{3*12}+\frac{1}{09*12},\frac{1}{4*08}=\frac{1}{4*12}+\frac{1}{08*12},\frac{1}{5*7}=\frac{1}{5*12}+\frac{1}{7*12}\)
\(n=7:\frac{1}{1*13}=\frac{1}{1*14}+\frac{1}{13*14},\frac{1}{2*12}=\frac{1}{2*14}+\frac{1}{12*14},\frac{1}{3*11}=\frac{1}{3*14}+\frac{1}{11*14},\frac{1}{4*10}=\frac{1}{4*14}+\frac{1}{10*14},\frac{1}{5*9}=\frac{1}{5*14}+\frac{1}{9*14}\)

fungarwai

\(\displaystyle\frac{1}{2n}\sum_{k=1,k\neq n}^\infty \left(\frac{1}{k-n}-\frac{1}{k+n}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2n}\left(\sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{k-n}-\frac{1}{k+n}\right)
+\sum_{k=n+1}^\infty \left(\frac{1}{k-n}-\frac{1}{k+n}\right)\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2n}\left(-H_{n-1}-(H_{2n-1}-H_n)+H_{2n}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2n}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}\right)=\frac{3}{4n^2}\)