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费马定理
n≥3,
x^n+y^n=z^n不可能有正整数解
最终由怀尔斯证明,不过我没去尝试去看那个130页的证明(包含费雷猜想,谷山村志猜想,椭圆曲线)
请大家帮我看一下以下证明(构造多项式法)问题出在哪儿
n=4时,费马自己给出证明(无穷降级法)
余下的只要证明,n为奇素数是费马定理成立就可以(1810年巴黎数学院的结论)
我也可以给出证明
n=3,欧拉用无穷降解法证明了
n=4,费马已经证明
对于n≥5,只有以下三种可能
a)n为奇素数
b)n为2^p(p≥3)型合数,假如有解,则n=4有解,矛盾
c)n为有一个奇素数因子的合数q,假如有解,则x^p+y^p=z^p有解,回归1)
所以费马大定理等价于
n为奇素数时,x^n+y^n=z^n无正整数解
很显然Max(x,y)<z<x+y
设z=y+β(0<β<x)
费马定理可以换一种描述
对任意正整数x,β,如下关于y的n-1次多项式f(y)不可能有正整数解
f(y,x,β)=(y+β)^n-y^n-x^n=∑C(n,k)(y^k)(β^(n-k))+(β^n-x^n)(k从1到n-1)(4)
df(y)/dy=∑C(n,k)(ky^(k-1))(β^k),在y>0时,这个一阶导数>0(5)
由于n为奇素数,则n-1为≥2的偶数,如果有整数解,则整数解是成对的
(整系数一元多次方程的无理数解或复数解是共轭存在的)
假如f(y)=0对某个x,β有整数解y0(费马定理的反例),必然存在另一个解y1(偶数阶多项式的有理数解个数必然是偶数)
很显然y0不等于y1(等根),否则f'(y0)=0,与(5)矛盾
由于β^n-x^n<0,很显然y=0不是(4)的解
假如y1<0
则x^n=z^n+(y1)^n,与z>Max(x,y)矛盾
所以多项式(4)如果有一个正整数解y0(费马定理不成立),则必然存在另外一个有理数解y1>0
根据罗尔定理f(y0)=f(y1)=0
则必然存在δ(δ介于y0和y1之间)
,满足f'(δ)=0,与(5)矛盾
因此,n为奇素数,对于任意正整数x,β,多项式(4)不可能有正整数零点
费马定理得以证明
如果出问题,也是在f(y)=0有两个正的有理数解这一段,请大神指导
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