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二元二次不定方程解的性质问题

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发表于 2011-4-28 22:26 | 显示全部楼层 |阅读模式
假如有:aX^2+bXY+cY^2+dX+eY+f=0
其中a,b,c,d,e,f均为整数。
并且,a,b,c不同时为0。
并且,我们知道,此方程肯定有一组正整数解。(整数解,如果有,则必定不是一组,但是,其余的解组可能有负数)
现在请问,在不解方程的情况下:
1、X,Y的奇偶能否知道?
2、X,Y哪一个大,哪一个小,能否知道?
说明:这个问题比较难,因为,我们要了解的是多数解组中的不确定的那一组。第二点,则是,不能通过解方程解决。第三点是,一部分方程,解的奇偶是可以用特殊方法判断出来的,但,有些方程却不能。所以,判断奇偶,这里需要寻找的是适合所有一般方程的方法。
盼高手出招。
 楼主| 发表于 2011-5-1 02:09 | 显示全部楼层

二元二次不定方程解的性质问题

顶一下。请高手出招
 楼主| 发表于 2011-5-30 16:42 | 显示全部楼层

二元二次不定方程解的性质问题

看样子,没有人了解这个问题,其实,……
发表于 2011-5-31 10:00 | 显示全部楼层

二元二次不定方程解的性质问题

下面引用由Bardo2011/04/28 10:26pm 发表的内容:
假如有:aX^2+bXY+cY^2+dX+eY+f=0
其中a,b,c,d,e,f均为整数。
并且,a,b,c不同时为0。
并且,我们知道,此方程肯定有一组正整数解。(整数解,如果有,则必定不是一组,但是,其余的解组可能有负数)
...
若此方程仅X.Y为未知数,
若a=A^2+C^2  b=2AB  c=B^2+E^2  d=2CD  e=2EF  f=D^2+F^2+G  G>0
则此方程肯定无解.
 楼主| 发表于 2011-6-19 00:06 | 显示全部楼层

二元二次不定方程解的性质问题

[这个贴子最后由Bardo在 2011/06/19 00:08am 第 1 次编辑] 非常感谢楼上。一个月以后,有如此的回复。 我来补充一下,看是否可以: 设有二元二次不定方程:ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=f 可知,当f大于0.x,y有同时为正整数的解。 利用 x=(u+kv) y=(u+v)代入原方程。 我们可以得到另一个二元二次不定方程。 此时,反过来,我们设,u,v均为1。求出k 再以: x=(u+v) y=(u+kv)代入原方程。 我们又可以得到另一个二元二次不定方程。 此时,反过来,我们设,u,v均为1。求出k 以上两次求解时,我们均以使用算术根。而不使用有理根。 如果第一次k>0说明,x>y,否则,xy,否则,x
 楼主| 发表于 2011-6-19 00:13 | 显示全部楼层

二元二次不定方程解的性质问题

对于奇偶的判定,只要未知数系数中,有两项系数为1,且不是同一未知数的平方项与一次项,这时可以用试算法判断其奇偶。
方法时,我们只要用1,2,这两个值作为x,y的值,代入方程,试算,如果方程左边的奇偶与右边一致,且这四种组合只有一次是一致的,那么,我们可以确定其x,y的奇偶。
 楼主| 发表于 2011-6-19 00:15 | 显示全部楼层

二元二次不定方程解的性质问题

实际上,现在的问题是,如何针对任一形式的一般方程,是否有通用的方法。
发表于 2011-6-20 01:13 | 显示全部楼层

二元二次不定方程解的性质问题

x,y的大小,实际即是O点到双曲线整点向量的方向的问题。
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