已知 p,q,r≥0 ，p+q+r=1 ，x=p+3q+4r ，y=2p+q+3r ，求 (x,y) 所围成的图形的面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

實數 p, q, r ≥ 0，且 p + q + r = 1，已知 x = p + 3q + 4r，y = 2p + q + 3r，

求點 (x, y) 所圍成的圖形面積。

angel_phoenix99

r=1-p-q(≤0p+q≤1)
获得
x=4-3p-q
y=3-p-2q

面积=∫∫(1-2p+q)dpdq(0≤q≤1-p'0≤p≤1)=∫((1-2p)(1-p)+(1-p)^2/2)dp=1/2∫(3-8p+5p^2)dp
=(3-4+5/3)/2=1/3

对不对我就不知道了，对二重积分忘记的差不多了

elim

luyuanhong

谢谢楼上 elim 的解答。下面是我的解答过程（其实与楼上是一样的）：

dodonaomiki

可否请教陆老师，
两个问题吗？


THANKS  A  LOT!

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

dodonaomiki

感谢陆老师的详细指导！


我会在接下来的日子里，
刻苦研读，
争取加以消化之后，
吞咽到肚子里，
好好消化吸收！

luyuanhong

从 (p,q,r) ，p,q,r≥0 ，p+q+r=1 变到 (x,y)=p(1,2)+q(3,1)+r(4,3) ，也就是

从 (p,q) ，p,q≥0 ，p+q≤1 变到 (x,y)=(4-3p-q , 3-p-2q) 。

这个变换，是一个仿射变换。

我们知道：仿射变换总是将直线变换成直线，将直线围成的三角形变换成三角形。

变换前的 (p,q) ，p,q≥0 ，p+q≤1 ，取值范围是一个三角形及其内部。

仿射变换后的 (x,y)=(4-3p-q , 3-p-2q) ，取值范围必定也是一个三角形及其内部。

有人可能问：为什么是三角形内部，而不是三角形外部？

可以这样解释：假如变换到三角形外部，必然有些 (x,y) 点的坐标要趋于无穷大，

但是，原来的 (p,q) 点在三角形内部，坐标都不会趋于无穷大。

从 (x,y)=(4-3p-q , 3-p-2q) 可以看出，(p,q) 为有限值时 (x,y) 也是有限值，

不会趋于无穷大，所以，不可能变换到三角形外部。