无穷大无穷小的定义、性质

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在无穷大与无穷小的概念上，数学界有许多不同的见解，在此，首先就现行数学分析中的定义，谈一点看法。
定义1(变量性无穷大)  若对任何一个足够大的区分界限 ，总有自然数 存在，使得 时， 成立，则称无穷数列 为变量性的无穷大。变量性无穷大也称真无穷大。它是绝对值无限变大（无有穷尽地变大）的无穷数列，是定义在自然数基本无穷数列上的变数。例如（1）式表示的无穷数列就是如此。
公理1(理想无穷大)  定义1中的数列没有通常意义的极限，但为研究问题方便起见，可以使用符号+∞( )表示其极限；此时，称这种符号为非正常理想实数，并称其为理想正无穷大(理想负无穷大，理想无穷大)；同时称这种意义下的极限为相应数列的非正常极限。记作
     或
在这里，理想正无穷大、理想负无穷大和理想无穷大，也可以叫做常量性无穷大。但在现实世界中找不到它们对应的现实数量；故也可以称这种无穷大为假无穷大；它们都不能作为正常的理想实数。又由于涉及这种无穷大的形式逻辑研究中，常常遇到无法解决的问题，所以又有恶无穷大的名称。符号“∞”只能在极限理论中，作为一种不可达到的趋向性、极限性事物，它不是一个定数。
常量性无穷大与变量性无穷大之间存在着相互依赖的对立统一关系。 符号“∞”在数学分析中的使用，有两种意义：一个意义是：作为极限值使用时，它可以暂时被看作是常量性无穷大、理想无穷大，是一个假无穷；另一个意义是：在不定式中的研究与计算时，这个符号应当被看作是一个无穷数列，是动态性的、变量性的无穷大，是真正存在着的无穷大；也可简称为动态性的真无穷大。这个动态性的真无穷数列中的数，只能取有限数。
关于无穷大的这种性质、意义与使用方法，就是《简明哲学辞典》所说的“概念应当是可更改的，可修改的，灵活的，变动的，否则它就不能正确地反映现实”的辩证逻辑方法。这个意义与方法也是形式主义者无法理解的意义与方法。例如，虽然可以说无穷数列 、 、 的极限都是 ，但又可以认为这三个 是不同的，并且可以研究他们的比值。当研究他们的比值时，就需要从原来的数列（即变量性无穷大）着手进行不定式 的计算。
在这里，还可以看出：常量性无穷大的研究中，常常需要使用取极限之前的变量性无穷大；常量性无穷大不是现实存在着的、完成了的实无穷，它们是表示变量性质的无穷大（一种数列或一种变数）的变化趋向的非正常极限。
定义2  以0为极限的无穷数列叫做无穷小。例如：上述（2）式表示无穷数列就是一个无穷小。
符合定义2的无穷小是很多的，与非标准分析类似，可以称这些无穷小属于实数0的单子，但与非标准分析不同，我们这里的无穷小都不是定数，都是数列性质的变数。不少学者解释非标准分析中无穷小数时，使用显微镜，他们说：“在显微镜下，实数0对应的坐标原点就是一个包含无穷多无穷小数的单子”。笔者不同意这个解释，因为实数0对应的坐标原点是没有大小的，用显微镜不能把它变成有大小的单子；同理，使用望远镜也看不到无穷远点，因为三维空间的无穷远点都是与常量性无穷大数对应的无穷远点，这种无穷大数与无穷远点都是趋向性质的、理想性质的不可达到的想象性事物；现实空间是没有边界、没有无穷远点的；至于复球面上的无穷远点，它是与复平面上无穷远点对应的事物，现实平面不存在边界、不存在无穷远点；因此这种无穷远点也是不可达到的理想性事物。关于非标准分析，应但知道，它是在形式逻辑下的ZFC集合论基础上使用模型论方法建立的，关于ZFC形式公理体系中的无穷公理，它的意思是：“满足皮亚诺继数公理的自然数无穷集合是存在着的”；这条公理没有讲清楚，这个无穷集合的性质（具体叙述参看下文），所以笔者不同意，使用这个公理体系推出中的无穷小数与无穷大自然数。