难题征解

zglfirst

难题征解
简单平常题——难题（怪题）——世界性难题
在K12网站的数学俱乐部版上，3月14日登出一个几何题。
已知：△ABC,∠BAC=45°⑴，AD⊥BC延线于D⑵，AD延长至F，使AF=BC⑶，连AF与AC延线交于E。
求证：AE⊥BE。
（一）简单平常题：图形简单，条件简单。
（二）难题（怪题）：此题登出后，无人作出提示或解答。许多人看了说，三个条件简单，似乎好用，但互不关联，无从下手。添线也不知从何处作。所以都说这是怪题。
（三）世界性难题：我是中学数学解题爱好者，看到这样妙题，真是喜欢，感谢设计出此题的人，真是山外有山，天外有天。我只懂点初中知识，我想解题高手，会用高中三角函数、解析几何、向量、或添出巧妙的辅助线来证明。我又想，不添辅助线也能证明吗？提出数学证明的限定条件，合不合于常规，允不允许。如果允许设定“不添辅助线”这个限定条件，此题是否是世界性难题？那么可否向国内外各数学网站发布此题，考一考国外中学数学解题爱好者，以便交流信息，探讨中学数学解题规律。
因为我看到，世界性难题“用圆规和无刻度直尺不可能三等分一任意角”，“无刻度”就是限定条件，外国人能设定，难道中国人就不能设定。
我是无名小卒，我研究中学数学解题久了，也有点心得。《解题之路，自有题示。》最难的题也会露出点蛛丝马迹，总会有端倪可探。此题条件∠BAC=45°⑴特殊，很难用，必须先从用⑴下手（一般作垂直线）。另外图形明示，有三条分角线，可用《分角定理》，能快速判断和操作。
0759-2351089，0739-5344277，           古稀老人       张光禄         2006，3，16

含笑的波浪

楼主：你好！
    你的介绍有误，我觉得已知的结尾应该是“连BF与AC延线交于E”。
    对否？

haizhou

不难[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 haizhou 在 时添加 -=-=-=-=-
用反向的思路反证法将迎刃而解。

zhzqqj

2、已知：△ABC，∠BAC = 45°，AD⊥BC延线于D，AD延长至F，使AF = BC，连BF与AC延线交于E。求证：AE⊥BE。
证明：过点C作CG∥FA，且使CG = BC，交AB于H，联结AG、BG、CF。
∵ AF = BC，∴ CG = AF，∴ 四边形AFCG是平行四边形，∴ AG∥FC，
∵ AD⊥BC，∴ CG⊥BC，∴∠BGC =∠GBC =∠BAC = 45°，∴ A、G、B、C四点共圆，∴ ∠BAG =∠BCG = 90°，∴ AG⊥AB，∴ CF⊥AB，∴ C是△ABF的垂心，
∴ AE⊥BE。
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此题目的确有一定难度，3楼的逆向反证恐怕不太好。
另外，哪位老师告诉我，为什么图片粘贴不上去，怎样才能做到。

zhzqqj

现在商传本题的图

zhzqqj

此题已经解出

wangyangkee

俞根强也不是忒蠢；在傻老头需要的时候，顶底帖的时候，俞根强听调会意；即闹蠢货，，，光俞家荣耀，，，