设 a(1)=a ，a(n+1)=f(a(n)) ，n=1,2,3,…，lim(n→∞)a(n)=c ，是否一定有 f(c)=c ？

simpley

a1=a
an=f(a(n-1))
n无穷大时，an的极限为c
那么，f(c)=c是否成立？

drc2000回来

......
不能保证.

luyuanhong

当 f(x) 是连续函数时，这个结论是成立的，但是当 f(x) 不连续时，就不一定成立了。

下面举一个反例，设 x＞0 时，f(x)=x/2 ，当 x≤0 时，f(x)=x+1 。

已知 a(1)=1 ，a(n+1)=f(a(n)) ，n=1,2,3,… 。

容易看出，有 a(1)=1 ，a(2)=a(1)/2=1/2 ，a(3)=a(2)/2=1/4 ，a(4)=a(3)/2=1/8 ，……

当 n→∞ 时，a(n)→0 ，可见 a(n) 的极限为 c=0 。

但是用 c=0 代入 c=f(c)  ， 等号左边 c=0 ，等号右边 f(0)=0+1=1 ，显然不相等。

simpley

如果f(x)连续，怎么证明，当n无穷大时f(c)=c

luyuanhong

simpley 发表于 2017-5-1 18:21
如果f(x)连续，怎么证明，当n无穷大时f(c)=c

因为 f(x) 是连续函数，所以必有 lim f(a(n)) = f(lim a(n)) 。

又因为已知 a(n+1) = f(a(n)) ，对此式两边同时取 n→∞ 的极限，就有

c = lim a(n+1) = lim f(a(n)) = f(lim a(n)) = f(c) 。

simpley

谢谢。
陆教授的代数转换技术非常纯熟。