【温故知新】 百鸡问题 (张丘建算经)

尚九天

                   :em05: 百鸡问题    (张丘建算经)
:em05: 今有鸡翁一，值钱五； 鸡母一，值钱三； 鸡雏三，值钱一. 凡百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏 各几何？
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:em05: 子曰：“学而时习之”，“温故而知新”。
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:em05: 不定方程的研究是数论中困难而又有趣的课题之一，历来受到数学家的重视。我国古代对不定方程的研究是卓有成效的，对世界数学的发展作出过光辉的贡献。早在公元五世纪末，《张丘建算经》中便出现了“百鸡问题”这一历史名题。
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luyuanhong

下面引用由尚九天在 2011/05/16 04:00am 发表的内容：
百鸡问题    (张丘建算经)
  今有鸡翁一，值钱五； 鸡母一，值钱三； 鸡雏三，值钱一. 凡百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏 各几何？
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  子　...

题（百鸡问题）今有鸡翁一，值钱五； 鸡母一，值钱三； 鸡雏三，值钱一。
    凡百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏 各几何？

解  设鸡翁 x 只，鸡母 y 只，鸡雏 z 只。根据题意，有方程组：
    x＋y＋z＝100　（1）      5x＋3y＋z/3＝100　（2）
    从（1）得  z＝100－x－y　，代入（2）得  5x＋3y＋(100－x－y)/3＝100 ，
    整理后得 7x＋4y＝100 ，即有 y＝25－7x/4 （3）。
    因为 y 必须是整数，从（3）可看出 x 必须是 4 的倍数，设 x＝4k（k为整数），
    这时 y＝25－7×4k/4＝25－7k 。
    因为 x 必须是正数，所以 x＝4k＞0 ，即必须有 k＞0 。
    因为 y 必须是正数，所以 y＝25－7k＞0 ，即必须有 k＜25/7 。
    大于 0 小于 25/7 的整数 k 只能取 3 种值： k＝３ ，k＝2 ，k＝1 。
    当 k＝3 时，得到解：

       x＝4×3＝12 ，y＝25－7×3＝4 ，z＝100－12－4＝84 。

    当 k＝2 时，得到解：

       x＝4×2＝8 ，y＝25－7×2＝11 ，z＝100－8－11＝81 。

    当 k＝1 时，得到解：

       x＝4×1＝4 ，y＝25－7×1＝18 ，z＝100－4－18＝78 。

    如果允许鸡翁的只数 x 是 0 ，则还可以令 k＝0 ，这时还可得到一种解：

       x＝4×0＝0 ，y＝25－7×0＝25 ，z＝100－0－25＝75 。

尚九天

下面引用由luyuanhong在 2011/05/16 03:58pm 发表的内容：
题（百鸡问题）今有鸡翁一，值钱五； 鸡母一，值钱三； 鸡雏三，值钱一。
    凡百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏 各几何？解  设鸡翁 x 只，鸡母 y 只，鸡雏 z 只。根据题意，有方程组：
    x＋y＋z＝100　（1）    ...

:em05: 谢谢陆教授详解！