将“非标准分析”扩充到数论

zhujingshen

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将“非标准分析”扩充到数论
看了陆老师的“非标准分析”，很不错，陆老师的非标准分析数论没有关系，而我这里和分析数论是密切相关的，在这里，加进了一些我的思想和认识。做了一些较重大的修改。请陆老师和大家指教。
    在非标准分析中，引入一个无穷单位元（Infinity Unit）Ω ，它满足以下两条：
（1）Ω 具有正整数（除了与下面（2）矛盾的以外）的一切性质，可以像一个正整数那样
与其他的数比较大小，可以像一个正整数那样进行各种运算，服从同样的运算法则。
（2）Ω 大于任何整数。
    实数系 R 中引入 Ω 后，就可以扩张为超实数系 R* 。非标准分析的创始人、逻辑学家
Robinson（罗宾逊）用数理逻辑严格地证明了：这样的扩张，不会产生任何矛盾。
无穷大数 的定义：
对于一个p进制纯无限大数
An……A3 A2 A1.0= lim (A1*p^0+A2*p^1+A2*p^2+…+An*p^（n-1）)
               n→∞
当An>0,这个无限大数就是无穷大数。
如：1000.....0.0
由于An*p^n的n是无理数，所以，An*p^n是超越数，所以，无穷大数1000.....0.0不是代数数，是超越数，是无限数，不是皮亚诺公理定义的数，在这里皮亚诺公理不适用，因此，标准分析中被当成一个量。
序列的表示方式如下：
liM（10∧n） (n→∞)
序列{10　100 1000 10000 100000 ……}的极限。
无穷小单位元(1/Ω)
对于一个p进制纯无限小数
0.A1A2A3… = lim (A1/p^1+A2/p^2+…+An/p^n)
         n→∞
无限小数分为两个部分，前面是可数数的位数的代数数，后面是无穷位的位数的超越数…A（n-1）/p^（n-1）+An/p^n。
作为非标准分析，无穷小数定义如下：
对于一个p进制纯无限小数 ，当n=∞时，后面的超越数
0.……A（n-1）An  = 0.……+…A（n-1）/p^（n-1）++An/p^n)
        
这个超越数就是无穷小数。
如：0.……12 =0.……A（n-1）An （这里 A（n-1）=1，An=2）
如果An>0,由于An/p^n的n是无理数，所以，An/p^n是超越数，
所以，无穷小数0.……A（n-1）An不是代数数，是超越数，是无限数，不是皮亚诺公理定义的数，在这里皮亚诺公理不适用。
由于标准数学的极限定义，无限小数前部的可数小数如果为0，极限为0，无穷小数已经没有存在的意义。封杀了无穷小数。
一般情况下，作为一般数值，无穷小数等于0，是可以的。
如果，是两个数量的比值的极限为0，这时，无穷小（数）就不能被忽略了，所以，无穷小量（或无穷小数）在物理中应用很广。
因此，在标准数学中扩充无穷小数和无穷大数是大势所趋。
在这里，由于标准的无穷大量变为非标准的无穷大数，因此会产生两种运算。
标准运算的定义：
将无穷单位元（Infinity Unit）Ω作为无穷大量的运算叫标准运算。
非标准运算的定义：
将无穷单位元（Infinity Unit）Ω作为具体数值无穷大数的运算叫非标准运算。
  在超实数域中的无穷大量、无穷小量，都可以看作是由无穷单位元 Ω 生成的，例如：
   Ω＋１ ，Ω－１００ ，２Ω ，Ω／３ ，Ω^2 ，√Ω ，２^Ω ，lnΩ 等等，都是无穷大数；
   １／Ω  ，（Ω＋１）／Ω^2  ，１／√Ω ，２^（-Ω），ln（１＋１／Ω） 等等，都是无穷小数。
由于超实数域中的无穷大数、无穷小数都是由同一个无穷单位元 Ω 生成的，所以它们可以像普通的数一样做各种运算，例如：
   ５Ω－３Ω＝２Ω ，Ω^3 ／Ω＝Ω^2 ，（Ω＋１）^2－（Ω－１）^2＝４Ω 等等。
这些运算都叫非标准运算。
由于超实数域中的无穷大数、无穷小数都是由同一个无穷单位元 Ω 生成的，所以它们可以像普通的数一样比较大小，例如：
   ２Ω＞Ω ，Ω^3＞Ω^2 ，１／（Ω－１）＞１／Ω ，２^Ω＞Ω^2 ，Ω／１０＞lnΩ 等等。
这些比较都叫非标准比较。
标准的比较是：
２Ω的倒数为0，,Ω 的倒数为0，所以，２Ω和Ω是极限相等。
１／（Ω－１）和１／Ω 是极限相等。
２^Ω和Ω^2 ，Ω／１０和lnΩ 等，均为 极限相等。
标准运算与比较和非标准运算与比较的结果是不同的，分别代表不同的意义，具体的情况具体分析，以标准运算为主。
无穷大数和无穷大数如果写为数字形式有很多缺陷，无法对位，只有在可以对准位数的情况下，才可以运算，函数和序列的表示方式更有利于非标准运算。

zhujingshen

非标准分析解决无穷问题有更大的优势，更合理。
比如：无穷自然数集和无穷偶数集那个大？
非标准分析答案是无穷自然数集是无穷偶数集的2倍。是相互比较。
标准分析答案是无穷自然数集等于无穷偶数集。是绝对值的比较。
非标准分析将现实中的情况带入无穷，真实客观。
而标准分析的 N除以无穷大 等于 0，实在让人大跌眼界。

elimqiu

有些论述，例如【非标准分析答案是无穷自然数集是无穷偶数集的2倍。是相互比较。】，陆老师有过类似的说法。不过被证明是不能成立的。
不管怎么说，结论需要论证。

elimqiu

下面引用由zhujingshen在 2011/05/23 02:06pm 发表的内容：
无穷大数 的定义：
对于一个p进制纯无限大数
An……A3 A2 A1.0= lim (A1*p^0+A2*p^1+A2*p^2+…+An*p^（n-1）)
              n→∞
当An>0,这个无限大数就是无穷大数。
如：1000.....0.0

即使在非标准分析中，这个例子还是无法从定义得出。因为你找不到一个无穷序列，它有末项，而其他项皆为0.

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/24 02:35pm 发表的内容：
即使在非标准分析中，这个例子还是无法从定义得出。因为你找不到一个无穷序列，它有末项，而其他项皆为0.

这里An是首项，不是末项。
序列的表示方式如下：
liM（10∧n） (n→∞)
序列{10　100 1000 10000 100000 ……}的极限。
1000.....0.0中，An=1，A1=0，A2=0.

elimqiu

那个 n = ?

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/24 02:26pm 发表的内容：
有些论述，例如【非标准分析答案是无穷自然数集是无穷偶数集的2倍。是相互比较。】，陆老师有过类似的说法。不过被证明是不能成立的。
不管怎么说，结论需要论证。

“非标准分析”对无穷有独特的看法。也就是两个无穷数之间的（函数）关系。
自然数是偶数的2倍，这种函数关系是明显的。
自然数的数量是：
liM（10∧n） (n→∞)
序列{10　100 1000 10000 100000 ……}的极限。
偶数的数量是：
liM（0.5*10∧n） (n→∞)
序列{5　50 500 5000 50000 ……}的极限。
标准分析中，
liM（10∧n） (n→∞)=liM（0.5*10∧n） (n→∞)
无穷自然数集等于无穷偶数集，一对一的对应。
应当都是对的，两种分析说的不是一回事，一个事物的两个方面。

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/25 05:46am 发表的内容：
那个 n = ?

n =Ω=∞