[分享]自然数集上的一类良序关系

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/06/22 09:22am 发表的内容：
良序的概念本来就是定义在实无穷意义下的序集上的，怎么又只能是潜无穷的自然数集合呢? 什么是潜无穷意义上的自然数集合？

可数集（countable set），是能与自然数集N建立一一对应的集合，又称可列集。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an，…。比如全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立如下的一一对应。
自然数集合排成无穷序列，当然是无穷多的数。既然涉及了无穷，当然，就超越了自然数的定义。
自然数集合中，下一个自然数是上一个自然数加1的结果。
集合中，后面的自然数趋于无穷大，显然是无限的1相加的结果（实无穷认为“无限”可以达到，是定数）。量变成了质变，已经不是自然数了。所以，自然数集合中符合自然数定义的自然数，小于无穷大。
我在网上看的超越数定义是无限次运算的结果。（无限次运算是实无穷，可以完成，）
个人认为：
实无穷意义下的序集，应当分为2个分集，
一个潜无穷的自然数集合，
一个无穷大数集合。
这样才准确一些，就像无限小数定义的公式，前面是代数数，后面是无穷小数(无穷小量)。
无限小数的集合也必然包括无穷小数(无穷小量)。只是无穷小数(无穷小量)被极限为0了。

elimqiu

下面引用由zhujingshen在 2011/06/22 06:39pm 发表的内容：
自然数集合排成无穷序列，当然是无穷多的数。既然涉及了无穷，当然，就超越了自然数的定义。

集合不是数，不管是无穷集合还是有限集合，数的集合都不是数。

自然数集合中，下一个自然数是上一个自然数加1的结果。
集合中，后面的自然数趋于无穷大，显然是无限的1相加的结果（实无穷认为“无限”可以达到，是定数）。

自然数都不是无限个1相加的结果。你对实无穷的了解是错的。承认无穷集合的存在就是实无穷观点，因此承认全体自然数集合的存在是实无穷观点。这个观点跟无穷的“达到”有什么关系？后者的定义是什么？

个人认为：
实无穷意义下的序集，应当分为2个分集，
一个潜无穷的自然数集合，
一个无穷大数集合。
这样才准确一些，就像无限小数定义的公式，前面是代数数，后面是无穷小数(无穷小量)。
无限小数的集合也必然包括无穷小数(无穷小量)。只是无穷小数(无穷小量)被极限为0了。

按照现行的实无穷，潜无穷概念，不存在潜无穷的自然数集合。皮亚诺谈论的自然数集合对于潜无穷论者是不存在的。所谓潜无穷，就是只认同不断增长中的有限集，而不认同无限集合的存在。对于潜无穷论者来说，自然数序列是一个不断增长中的有限序列。自然数还没有‘构造’齐全。

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/06/22 02:47pm 发表的内容：
按照现行的实无穷，潜无穷概念，不存在潜无穷的自然数集合。皮亚诺谈论的自然数集合对于潜无穷论者是不存在的。所谓潜无穷，就是只认同不断增长中的有限集，而不认同无限集合的存在。对于潜无穷论者来说，自然数 ...

集合不是数，集合的基数是数。自然数集合的基数是自然数集合里的末数。如果基数是无穷大，集合里的末数也是无穷大。
n→∞,无穷大∞如果能够“达到”才是固定的数，不能“达到”就是变量。

你说的是否是“自然数如果‘构造’齐全。就是就是无穷集合。”
无穷多的数，都不相同，却没有无穷大数。
这样的说法，很难让人信服。

elimqiu

下面引用由zhujingshen在 2011/06/23 05:46pm 发表的内容：
集合不是数，集合的基数是数。自然数集合的基数是自然数集合里的末数。如果基数是无穷大，集合里的末数也是无穷大。

基数未必是数系的元素。自然数集合的基数不在自然数集合里，换句话说，这个基数不是自然数。

下面引用由zhujingshen在 2011/06/23 05:46pm 发表的内容：
n→∞,无穷大∞如果能够“达到”才是固定的数，不能“达到”就是变量。

n→∞的定义跟‘达到’没有关系。要界定‘达到∞’，先要明确什么是‘作为数的 ∞’，这在经典数学里是胡扯。

下面引用由zhujingshen在 2011/06/23 05:46pm 发表的内容：
你说的是否是“自然数如果‘构造’齐全。就是就是无穷集合。”

构造的概念，由直觉主义者提出来，指的是从确认存在的东西，通过有限步认可的操作可以得到的结果。实无穷论者认为把数学对象限制为一切直觉主义界定下的可‘构造’对象，是不合理的。例如圆周上的点有无穷多，不可能是这种‘有限步’构造的结果，就说圆上的点还在构造过程中，是箴言说瞎话。所以实无穷论者接受无穷集合作为既存的数学对象，认为不是一切数学对象都是人的有限构造的产物。（这有点类似于承认人类以前世界已经存在）

下面引用由zhujingshen在 2011/06/23 05:46pm 发表的内容：无穷多的数，都不相同，却没有无穷大数。
这样的说法，很难让人信服。

我想APB先生也是这么认为的。接触的都是有限的事物，将有限情形的规律直觉地外推到无穷的情形，就不会不令人信服了，但这种外推往往没有直觉以外的逻辑根据。认定没有逻辑根据的事情是荒谬的。
根据皮亚诺公理，自然数有无穷多，两两不同，却没有无穷大自然数。这就是可以逻辑地得到的论断，很难让人按照有限的直觉信服。