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楼主: elimqiu

[分享]自然数集上的一类良序关系

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发表于 2011-6-22 18:39 | 显示全部楼层

[分享]自然数集上的一类良序关系

下面引用由elimqiu2011/06/22 09:22am 发表的内容:
良序的概念本来就是定义在实无穷意义下的序集上的,怎么又只能是潜无穷的自然数集合呢? 什么是潜无穷意义上的自然数集合?
可数集(countable set),是能与自然数集N建立一一对应的集合,又称可列集。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号,那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1,a2,a3,…an,…。比如全体正偶数的集合是一个可数集,全体正奇数的集合也是可数集,它们与自然数集可以建立如下的一一对应。
自然数集合排成无穷序列,当然是无穷多的数。既然涉及了无穷,当然,就超越了自然数的定义。
自然数集合中,下一个自然数是上一个自然数加1的结果。
集合中,后面的自然数趋于无穷大,显然是无限的1相加的结果(实无穷认为“无限”可以达到,是定数)。量变成了质变,已经不是自然数了。所以,自然数集合中符合自然数定义的自然数,小于无穷大。
我在网上看的超越数定义是无限次运算的结果。(无限次运算是实无穷,可以完成,)
个人认为:
实无穷意义下的序集,应当分为2个分集,
一个潜无穷的自然数集合,
一个无穷大数集合。
这样才准确一些,就像无限小数定义的公式,前面是代数数,后面是无穷小数(无穷小量)。
无限小数的集合也必然包括无穷小数(无穷小量)。只是无穷小数(无穷小量)被极限为0了。
 楼主| 发表于 2011-6-22 21:47 | 显示全部楼层

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下面引用由zhujingshen2011/06/22 06:39pm 发表的内容:
自然数集合排成无穷序列,当然是无穷多的数。既然涉及了无穷,当然,就超越了自然数的定义。
集合不是数,不管是无穷集合还是有限集合,数的集合都不是数。
自然数集合中,下一个自然数是上一个自然数加1的结果。
集合中,后面的自然数趋于无穷大,显然是无限的1相加的结果(实无穷认为“无限”可以达到,是定数)。
自然数都不是无限个1相加的结果。你对实无穷的了解是错的。承认无穷集合的存在就是实无穷观点,因此承认全体自然数集合的存在是实无穷观点。这个观点跟无穷的“达到”有什么关系?后者的定义是什么?
个人认为:
实无穷意义下的序集,应当分为2个分集,
一个潜无穷的自然数集合,
一个无穷大数集合。
这样才准确一些,就像无限小数定义的公式,前面是代数数,后面是无穷小数(无穷小量)。
无限小数的集合也必然包括无穷小数(无穷小量)。只是无穷小数(无穷小量)被极限为0了。
按照现行的实无穷,潜无穷概念,不存在潜无穷的自然数集合。皮亚诺谈论的自然数集合对于潜无穷论者是不存在的。所谓潜无穷,就是只认同不断增长中的有限集,而不认同无限集合的存在。对于潜无穷论者来说,自然数序列是一个不断增长中的有限序列。自然数还没有‘构造’齐全。
发表于 2011-6-23 17:46 | 显示全部楼层

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下面引用由elimqiu2011/06/22 02:47pm 发表的内容:
按照现行的实无穷,潜无穷概念,不存在潜无穷的自然数集合。皮亚诺谈论的自然数集合对于潜无穷论者是不存在的。所谓潜无穷,就是只认同不断增长中的有限集,而不认同无限集合的存在。对于潜无穷论者来说,自然数 ...
集合不是数,集合的基数是数。自然数集合的基数是自然数集合里的末数。如果基数是无穷大,集合里的末数也是无穷大。
n→∞,无穷大∞如果能够“达到”才是固定的数,不能“达到”就是变量。

你说的是否是“自然数如果‘构造’齐全。就是就是无穷集合。”
无穷多的数,都不相同,却没有无穷大数。
这样的说法,很难让人信服。
 楼主| 发表于 2011-6-23 22:44 | 显示全部楼层

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下面引用由zhujingshen2011/06/23 05:46pm 发表的内容:
集合不是数,集合的基数是数。自然数集合的基数是自然数集合里的末数。如果基数是无穷大,集合里的末数也是无穷大。
基数未必是数系的元素。自然数集合的基数不在自然数集合里,换句话说,这个基数不是自然数。
下面引用由zhujingshen2011/06/23 05:46pm 发表的内容:
n→∞,无穷大∞如果能够“达到”才是固定的数,不能“达到”就是变量。
n→∞的定义跟‘达到’没有关系。要界定‘达到∞’,先要明确什么是‘作为数的 ∞’,这在经典数学里是胡扯。
下面引用由zhujingshen2011/06/23 05:46pm 发表的内容:
你说的是否是“自然数如果‘构造’齐全。就是就是无穷集合。”
构造的概念,由直觉主义者提出来,指的是从确认存在的东西,通过有限步认可的操作可以得到的结果。实无穷论者认为把数学对象限制为一切直觉主义界定下的可‘构造’对象,是不合理的。例如圆周上的点有无穷多,不可能是这种‘有限步’构造的结果,就说圆上的点还在构造过程中,是箴言说瞎话。所以实无穷论者接受无穷集合作为既存的数学对象,认为不是一切数学对象都是人的有限构造的产物。(这有点类似于承认人类以前世界已经存在)
下面引用由zhujingshen2011/06/23 05:46pm 发表的内容:无穷多的数,都不相同,却没有无穷大数。
这样的说法,很难让人信服。
我想APB先生也是这么认为的。接触的都是有限的事物,将有限情形的规律直觉地外推到无穷的情形,就不会不令人信服了,但这种外推往往没有直觉以外的逻辑根据。认定没有逻辑根据的事情是荒谬的。
根据皮亚诺公理,自然数有无穷多,两两不同,却没有无穷大自然数。这就是可以逻辑地得到的论断,很难让人按照有限的直觉信服。
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