【趣题征解】欧拉函数的乘法性质

ysr

证明很精彩,特别是欧拉定理的证明,很好,谢谢!

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/30 03:34pm 发表的内容：
7楼不应该说素数存在的概率，而应该说是从前n个正整数中随机取数得到素数的概率，对n→∞,极限为0.
这也是素数定理的推论。

我的看法是：这实际是前n个正整数与其中的素数的比例，对n→∞,极限为0.
而一位正统数学人说，正整数与素数一对一对应，数量相等。
这两者是矛盾，还是有什么说法。

elimqiu

下面引用由zhujingshen在 2011/06/05 06:19pm 发表的内容：
前n个正整数与其中的素数的比例，对n→∞,极限为0.

这没有错。由此确定的是素数相对于正整数的分布。

正整数与素数一对一对应，数量相等。

这也没错，说的是基数（计数）的相等。

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/06/05 00:51pm 发表的内容：
这也没错，说的是基数（计数）的相等。

这就是“素数分布问题”吧，我怎么以前听说这个问题还没有解决呢？

elimqiu

素数分布，从极限形式看，就是素数定理。已经有很多证明。
然而精确的素数公式 p(n) [从n 得到第n个素数的函数] 没有解析地确立。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
后者很可能没有人们期盼的 close forumla

zhujingshen

对这个素数定理的推论有些疑问，对“n→∞,极限为0.”
当n→∞,n就不是整数了，是无穷数数了，因此，在这里欧拉函数是没有意义的。这样的证明显然有些问题。
素数与整数的比值是可数数除以可数数，依然是可数数，大于0，甚至，不是无穷小。
这是不同于其它的极限情况，是可数数除以无穷数，是无穷小，极限等于0.

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/06/05 03:22pm 发表的内容：
素数分布，从极限形式看，就是素数定理。已经有很多证明。
然而精确的素数公式 p(n) 没有解析地确立。-=-=-=-=- 以下内容由elimqiu在时添加 -=-=-=-=-
后者很可能没有人们期盼的 close forumla

大家为什么不承认容斥原理的素数公式 p(n)，没有任何误差，和欧拉函数又紧密相关。

elimqiu

请具体说说您的素数公式