[转载] 整系数多项式的根在复平面上的分布图

Ysu2008

Dan Christensen发现，把所有次数不超过5的、系数在-4到4范围内的整系数多项式的所有根描绘在同一个复平面上，你会看到一个异常壮观的画面。图中的每个灰色点代表某个二次多项式的一个根，蓝色点代表三次多项式的根，红色代表四次多项式的根，黑色代表五次多项式的根。水平线代表实轴，0和±1的地方有很明显的空洞；竖直方向是虚轴，每个单位根处也都有明显可辨的空洞。



受到上述实验的启发，Sam Derbyshire决定画一张更一般的、分辨率更高的多项式复根图。考虑每个系数要么为1要么为-1的全体24次多项式，它们总共将产生24*2^24——约等于4亿——个根。他让Mathematica运行了四天四夜才算出所有这些根的位置，得到了大约5个G的数据。最后，他用一个Java程序画出了这些根在复平面上的分布图，奇迹出现了：



下面是一张局部放大图：



位于1附近的局部放大图



位于4/5附近的局部放大图


位于(4/5)i 附近的局部放大图

最美的地方还是(1/2)*Exp(i/5)附近的局部放大图：



DouBao是这样认为的：
这个图主要是描绘多项式的根。
比如x+2=0 这个多项式，我们就在(-2, 0)这里画一个点【这个点使这个方程左右相等，故称根，也可以叫解】。
再如x^2+1=0 这个多项式，它的根是i与-i，我们就在(0, 1)和(0,-1)上画个点，这里i是复数【i*i = -1】。这些图就是画在复平面的，与以前的XY坐标系不同。复数是这样的构成的：a+bi。比如这个例子里面根i表示成完整的复数形式就是，0+1*i。-i表示成完整的复数形式就是，0-1*i。观察下，这里面a和b其实就是它们的坐标(0, 1)和(0,-1)。
后面这些画的是一副更高级的多项式（比前两个例子更复杂），它有24次，每个系数要么是1要么是-1。 比如，x^24+x^23-x^22+....+x^2-x+1=0 。这样的多项式有24*2^24——约等于4亿——个根。【第一个24的意思是，一个24次的多项式有24个根{代数上有这个定理：n次多项式有n个根}。2的意思是系数要么选择1要么选择-1，这样就有两种选择。第二个24的意思是这个多项式有24个系数需要进行选择。所以2^24表示系数有多少种组合，也就是有多少种多项式。24*2^24也就是这些多项式的根有多少个】