A,B,C,D 两两独立，有 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D) ，是否必有 P(BCD)=P(B)P(C)P(D)？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题 A,B,C,D 是四个事件，两两独立，有 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C) ，P(ACD)＝P(A)P(C)P(D) ，

  P(ABD)＝P(A)P(B)P(D) ，P(ABCD)＝P(A)P(B)P(C)P(D) 。是否必有 P(BCD)＝P(B)P(C)P(D) ？

解  不一定有 P(BCD)＝P(B)P(C)P(D) ，下面举一个反例：

    设袋中有编号为 1～16 的 16 个球，从中任取一个，取到各种号码的概率相等。

    样本空间为 Ω＝{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14.15,16} 。

    设 A＝{ 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15} ，P(A)＝8/16＝1/2 。

       B＝{ 1, 2, 3, 4,13,14,15,16} ，P(B)＝8/16＝1/2 。

       C＝{ 1, 2, 5, 6, 9,10,15,16} ，P(C)＝8/16＝1/2 。

       D＝{ 1, 2, 7, 8, 9,12,13,16} ，P(D)＝8/16＝1/2 。

    AB＝{ 1, 3,13,15} ，P(AB)＝4/16＝1/4＝1/2×1/2＝P(A)P(B) ，A,B 相互独立。

    AC＝{ 1, 5, 9,15} ，P(AC)＝4/16＝1/4＝1/2×1/2＝P(A)P(C) ，A,C 相互独立。

    AD＝{ 1, 7, 9,13} ，P(AD)＝4/16＝1/4＝1/2×1/2＝P(A)P(D) ，A,D 相互独立。

    BC＝{ 1, 2,15,16} ，P(BC)＝4/16＝1/4＝1/2×1/2＝P(B)P(C) ，B,C 相互独立。

    BD＝{ 1, 2,13,16} ，P(BD)＝4/16＝1/4＝1/2×1/2＝P(B)P(D) ，B,D 相互独立。

    CD＝{ 1, 2, 9,16} ，P(CD)＝4/16＝1/4＝1/2×1/2＝P(C)P(D) ，C,D 相互独立。

    可见，A,B,C,D 四个事件，两两独立。

    ABC＝{ 1,15} ，P(ABC)＝2/16＝1/8＝1/2×1/2×1/2＝P(A)P(B)P(C) 。

    ACD＝{ 1, 9} ，P(ACD)＝2/16＝1/8＝1/2×1/2×1/2＝P(A)P(C)P(D) 。

    ABD＝{ 1,13} ，P(ABD)＝2/16＝1/8＝1/2×1/2×1/2＝P(A)P(B)P(D) 。

    ABCD＝{ 1} ，P(ABCD)＝1/16＝1/2×1/2×1/2×1/2＝P(A)P(B)P(C)P(D) 。

    题目所给的条件全部能满足，但是，结论却不能成立，因为有

    BCD＝{ 1, 2,16} ，P(BCD)＝3/16 ≠ 1/8＝1/2×1/2×1/2＝P(B)P(C)P(D) 。