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发表于 2017-7-3 08:14
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我不知道，为什么现有的教科书上面已经具有的极限运算法则，那些专家怎么会不知道？或者说怎么不会运用呢？
教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。
现在我们再来判断π(1-1/p）的极限：
在x→∞时，p→∞,（p≤√x）
π(1-1/p）=π(p-1)/p=π(p-1)／π(p)；
有 π(p-1)→∞与π(p）→∞ ,
则π[1/(p-1)]→0，π[1/(p)]→0，
那么这两个无穷小量是否是同阶无穷小量呢？
以实验数据作依据，即可得到结论：
p( 2 )= 3 , π[1/(p)]= .3333333333333333 , π[1/(p-1)]= .5
p( 3 )= 5 , π[1/(p)]= 6.666666666666667D-02 , π[1/(p-1)]= .125
p( 4 )= 7 , π[1/(p)]= 9.523809523809523D-03 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-02
p( 5 )= 11 , π[1/(p)]= 8.658008658008657D-04 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-03
……
p( 135 )= 761 , π[1/(p)]= 1.592007967968415D-318 , π[1/(p-1)]= 9.46898549143166D-318
p( 136 )= 769 , π[1/(p)]= 2.070135056074823D-321 , π[1/(p-1)]= 1.23269378637391D-320
p( 137 )= 773 , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0
p( 138 )= 787 , π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0
显然两者趋于0的速度差不多，但是 π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1，故两者是同阶无穷小量。
因此依据同阶无穷小量比较定理，π(1-1/p）的极限有
x→∞时 lim π(1-1/p）= C ≠0 ,
就是说 x→∞时，素数的出现概率π(1-1/p）=0 错误！
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发表于 2017-6-21 13:06
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