已知 m,n 是正整数，且 4^m+4^n 为 100 的倍数，求 m+n 的最小值

费尔马1

∵4∧m+4∧n=100k，
若m=n，则2*4∧m不含因子25，
∴m≠n，设m＞n，
则4∧n〔4∧（m-n）+1〕=100k
约去4∧n得:
4∧（m-n）+1=25y     ⑴
⑴式中25y的个位数是5或0，
又∵4∧（m-n）的个位数，
当m-n为奇数时是4；
当m-n为偶数时是6.
而6+1=7，7不能为25y的个位数 ，
∴m-n必为奇数
令m-n=2t+1得m=2t+1+n
m+n=2t+1+n+n=2（t+n）+1
又当t=1时⑴式不成立
∴t=2，n=1时，
m+n有最小值2*3+1=7。

费尔马1

谢芝灵老师您好，5*5*y与5*y与5∧n  *y的个位数是一样的。
因为5   5*5   5*5*5……的个位数都是5，你看看，是不是这个道理？

费尔马1

100k=4*25k=25*4∧n  *y
这样，把k分成了两个部分，其中，一部分分给了4∧n，余下的部分就是y，y可以包括5，2在内的任何质因子。你看看，两边约去4∧n是对的，是不是这个道理？

谢芝灵

elim 发表于 2017-6-13 09:00
不妨设 1≤ m ≤ n, 则 100 | 4^m+4^n  ⇒ 25 | (4^(m-1))(4^(n-m)+1) ⇒ 25 | 4^(n-m)+1
因为  ...

缺逻辑的证明25 | 4^k+1⇒ k ≥ 5,怎么来的？抄来的数再试一下，或从k一个个试出来。小学生还情有可原。 不如直接说 因为4 + 4^6 = 4100 ，所以 1+6=7，

可笑的是m+n= 2+5 = 7. 请问 100 | 4^2 + 4^5 正确吗？  
4^2 + 4^5=1040

记住，抄作业也是技术活。