求 正整数 n, 素数 p 使得 n + p/n 是完全平方数

elim

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设 a 为正整数,  n + p/n = a^2, 则 n | p (素数), 故 n = 1, 或 p 故
1+p = n+p/n = a^2,  素数 p = (a-1)(a+1)，所以 p = 3, 从而
(1,3), (3,3) 是所求全部解.

elim

难度加大的题目：

求正整数 n, 素数 p 使得 n + p/n 为有理数的平方.

谢芝灵

依题意  n + p/n =整数
又n，  p 为整数      得 p/n 为整数
有 n=1，和 n=p （假若n＞p，即为非整数）
分析一：n=1，得 1+p=x^2
          得：p=（x-1)(x+1)  又p为素数，必有x-1=1，即x=2
         得：  p=3
分析二，n=p，得： n + p/n=p+1=x^2
           同理得：p=x^2-1
                       p=3
       x^2=p+1=4 则唯一 一个完全平方数。
得  完全平方数为 4，素数p=3，正整数 n=1，或3

elim

难度加大的题目：

求正整数 n, 素数 p 使得 n + p/n 为有理数的平方.

谢芝灵

elim 发表于 2017-6-14 04:37
难度加大的题目：

求正整数 n, 素数 p 使得 n + p/n 为有理数的平方.

n+p/n=a^2/b^2  其中 a，b互素（最简分数）
如 p/n 能化成整数，则之前已解决。
此时讨论 p，n互素，n＞1
原式得：(1/n)(n^2+p)=a^2/b^2     （1）
可证明 n与 n^2+p 互素，
假如不互素，得 （n，n^2+p）=k＞1
得到 k│p， 矛盾。
故 n与 n^2+p 互素
由（1）得  n=b^2 ;和  n^2+p=a^2
p=a^2-n^2=(a-n)(a+n)
得 a-n=1，  p=a+n=2n+1=2b^2+1
a=1+b^2   
这个解太多了。如 b=3 ，n=9，a=10，p=19，
                         b=6，n=36   a=37，p=73
                         b=9，n=81，a=82，p=163
                         b=21 ，n=441，a=442   p=883

谢芝灵

elim 发表于 2017-6-14 04:37
难度加大的题目：

求正整数 n, 素数 p 使得 n + p/n 为有理数的平方.

n+p/n=a^2/b^2  其中 a，b互素（最简分数）
如 p/n 能化成整数，则之前已解决。
此时讨论 p，n互素，n＞1
原式得：(1/n)(n^2+p)=a^2/b^2     （1）
可证明 n与 n^2+p 互素，
假如不互素，得 （n，n^2+p）=k＞1
得到 k│p， 矛盾。
故 n与 n^2+p 互素
由（1）得  n=b^2 ;和  n^2+p=a^2
p=a^2-n^2=(a-n)(a+n)
得 a-n=1，  p=a+n=2n+1=2b^2+1
a=1+b^2   
这个解太多了。如 b=3 ，n=9，a=10，p=19，
                         b=6，n=36   a=37，p=73
                         b=9，n=81，a=82，p=163
                         b=21 ，n=441，a=442   p=883

elim

需要某种形式的通解.