如何用二项式定理求出 2017^2017 除以 11 的余数？

luyuanhong · 发表于 2017-6-15 07:50

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

如何用二項式定理算 (2017)^2017 除以11的餘數?

谢芝灵 · 发表于 2017-6-15 08:56

   (2017)^2017  =（11*183+4）^2017 ； b＜11
二項式定理展开后 = 11f+4^2017
                        = 11f+4^7 *4^2010    又由费马小定理 11│x^10-1
                        = 11f1+4^7
                        =11f1+4*4^6
                        =11f1+4*（11+5）^3
                        =11f2+4*5^3
                        =11f2+4*（121+4）
                        =11f3+5

luyuanhong · 发表于 2017-6-15 09:12

谢谢楼上谢芝灵的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

angel_phoenix99 · 发表于 2017-6-16 08:39

2017≡4mod11(1)

(4,11)=1
基于欧拉定理
4^10≡1mod11(2)

2017=10*201+7(3)
4^7≡4*9*9≡5mod11(4)
结合(1)(2)(3)(4)
2017^2017≡4^2017≡4^7≡5mod11

luyuanhong · 发表于 2017-6-16 08:44

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

费尔马1 · 发表于 2017-6-16 13:58

据费马小定理:
2017∧2017=2017∧2010*2017∧7
=〔（2017∧201）∧10〕*2017∧7
=（11k+1）*2017∧7
=11k*2017∧7+2017∧7…………⑴
据二项式定理:
2017∧7=（11*183+4）∧7
=11t+4∧7
=11t+11*1489+5……………………⑵
由⑴、⑵知结果余5。

luyuanhong · 发表于 2017-6-16 15:04

谢谢楼上费尔马1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

elim · 发表于 2017-6-16 20:28

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如何用二项式定理求出 2017^2017 除以 11 的余数？

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