在 1/3 , 1/2 , 1/4 三种解答之外，Bertrand 怪论的又一种解答

wangyangkee

胡思乱想：
1，这个怪论，怪！于本人，虽反复多次，还是难免兜圈；因此，也多次的胡思乱想；
2，此再议论主楼；主楼以半径1/2为界，将点分为小园内
两种情形；但仔细体会陆老师对两种情况的分析，感觉：在点小园外的情形，过这种点的满足不小于根号3的弦，会经过小园周或在小园内；这种情况的概率计量，包含在点在小园内的情况中；只能记一次，，，总概率是0.25+0=0.25。
3，由此，这仍然是el在原主帖中的解法；
4，对这个胡思乱想，本人也拿不准，请陆老师或各位师长提出看法，，，

天茂

小结：
通过大家的讨论，对于Bertrand 怪论（在圆上任做一弦，求其长度超过圆内接正三角形边长的概率P）通过严谨的计算和大量随机数据的验证，共有5种不同的解法：
解法一
其思路是：假设圆周上的点是均匀的。
计算方法：将弦的一个端点看作是单位圆周上的定点，弦的另一个端点可以在单位圆周上任意选取，这样计算的结果是：Ｐ＝1/3＝0.333……。
验证方法：在圆周上任取两点作为弦的两个端点，通过Excel随机函数统计的验证，其结果确实是0.333……。
解法二
其思路是：假设半径上的点是均匀的。
计算方法：将弦的中点所在的半径看作是固定的，弦的中点可以在这条半径上任意选取，这样计算的结果是：Ｐ＝1/2＝0.5 。
验证方法：在圆内任意半径上任取一点作为弦的中点，通过Excel随机函数统计的验证，其结果确实是0.5 。
解法三
其思路是：假设圆内的点是均匀的。
计算方法：弦的中点可以在单位圆的圆面中任意选取，这样计算的结果是：Ｐ＝1/4＝0.25 。
验证方法：在圆内任取一点作为弦的中点，通过Excel随机函数统计的验证，其结果确实是0.25 。
解法四
其思路是：假设圆内和圆上（或圆心角）的点都是均匀的。
计算方法一：先在圆内任意取一点A，再在0°～90°中任取一个角度θ，过A点作一根与过A点的半径夹角为θ的弦。这样计算的结果是：Ｐ＝1/3+√3/2π＝0.60899778…… .
计算方法二：在圆周上任取一点，再在圆面中任意取一点，通过两点作弦，这样计算的结果也是：Ｐ＝1/3+√3/2π＝0.60899778…… .
验证方法：在圆内和圆上任意各取一点来决定一条弦，通过Excel随机函数统计的验证，其结果确实是0.60899778…… 。
解法五
其思路是：假设圆内的点都是均匀的。
计算方法：在圆面中任取两点，作一条通过两点的弦，这样计算的结果是：Ｐ＝1/3+3√3/4π＝0.74683000…… 。
验证方法：在圆内任取两点来决定一条弦，通过Excel随机函数统计的验证，其结果确实是0.74683000…… 。
不知道还有没有解法六、解法七、解法八……？
令人感到困惑的是：解法三和解法五的思路都是假设圆内的点是均匀的，但这个点却取至于弦的不同部位，因此也就导致了结果的不同。其根源到底是什么？

wangyangkee

[这个贴子最后由wangyangkee在 2011/06/25 09:46pm 第 1 次编辑]

1，点在小园内或外的情形，合并在el老师的主题中的解法三内；本人已在el老师的楼中陈述了看法，不是原问题的正确答案；
2，对于这里的5楼，本人在9楼陈述了看法，同样不是原问题的正确答案；正如el老师说的，权重上面的问题，，，
3，同样的感觉，陆老师的答案0.74683000的情形，也包含在点在小园内外的情形中；几种解法都概括的对应于el老师的主题中的解法三内；
4，感觉，都不是正确答案，，，

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/06/27 04:53pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/06/23 05:03pm 发表的内容：
上面第 1 楼中的做法，求出弦长大于 √3 的概率是 1/3+√3/2π＝0.60899778… ，
上面第 3 楼中的做法，求出弦长大于 √3 的概率也是 1/3+√3/2π＝0.60899778… ，
这是不是巧合？当然不是巧合。下面说明，为什 ...

我这里又有一个方案：在圆内任取一点作为弦上一点，在[0,2π)中任取一个值作为弦与x轴的夹角，这样来确定一条弦。数据验证结果也是0.608……。如下图所示。
请问陆老师：这个方案与上面两楼的做法是不是本质上一回事？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/27 06:24pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/06/27 04:49pm 发表的内容：
我这里又有一个方案：在圆内任取一点作为弦上一点，在[0,2π)中任取一个值作为弦与x轴的夹角，这样来确定一条弦。数据验证结果也是 0.608……。如下图所示。
请问陆老师：这个方案与上面两楼的做法是不是本质上一回事？

    我在第 1 楼中给出的做法是：
先在圆面内任取一点，再在［0,π/2］中任取一个角 θ（设取到各种角度的概率相等），
作一条与该点与圆心的连线夹角为 θ 的弦。
    天茂在第 14 楼中给出的做法是：
先在圆面内任取一点，再在［0,2π) 中任取一个角 θ（设取到各种角度的概率相等），
作一条与 x 轴的夹角为 θ 的弦。
    这两种做法实质上是一样的：都是任意取一个角度 θ（设取到各种角度的概率相等），
都是没有遗漏地取遍各种可能的角度。
    第 1 楼的做法，取与圆心的连线夹角为 θ 的弦，可以从两侧取，所以一个角度包括
两种取法，从与 x 轴的夹角来看，θ 的取值范围，应该是 π/2 的两倍，也就是 π 。
    第 14 楼的做法，在［0,2π) 中取弦与 x 轴的夹角 θ ，其实转过 π 后是同一根弦，
所以重复取了两遍，如果不计重复，θ 的取值范围，应该是 2π 的一半，也是 π 。
    可见，这两种做法，实质上是一样的，所以，算出的概率相同，都是 0.60899778… ，
也就不奇怪了。

天茂

确定一条弦需要两个独立因素。
“在圆内任取一点”算一个独立因素；
“在圆上任取另一个点”是第二个独立因素。
第二个独立因素可以替换为“任取一个角度”，只要这个角度的位置合适，都可以对应于圆上一点。
圆内任一条弦都可以和x轴、y轴及过端点的半径形成一个角度，每一族角度组成的集合可以和圆周上的点集建立一一对应关系。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/29 00:49pm 第 2 次编辑]

我在第 1 楼提出的 Bertrand 怪论的解法，有一个缺点：
取弦的方法与取到的弦不是 1-1 对应的，同一根弦，可以重复多次取到。
为了克服这一缺点，下面我提出另一种取弦的方法，可以保证 1-1 对应，
求出的概率也是 P=0.60899778… ：