自然数集合的概念

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至于自然数集合，笔者首先根据标准数列（1），提出如下的以集合为元素的无穷序列
   {0}，{0，1}，{0，1，2}，…，{0，1，2，3，4，5，6，7，8。9。10。11}……     （2）
   及{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，—，（10n-1）},…… (2’)
     定义9：上述以集合为元素的无穷系列中的每一个集合都叫做近似自然数集合。
公理1：上述以近似自然数集合为元素的无穷序列可以有一个理想性质的极限性质的非正常集合，它的具体表达式是：{0，1，2，3， …，9，10，11，…，99，100，101，……}；依照习惯，可以使用符号N表示自然数集合。与现行教科书中自然数集合的表达式比较，这个表达式与现行自然数集合表达式相同，但笔者认为：，表达式中最后的省略号不纯粹是省略的意义，它还表示“这个集合中的自然数是永远写不完的”。这个极限集合叫做理想的自然数集合，它具有永远写不完其所有元素的，不可构造完成的、不可达到的性质，所以笔者称它为非正常集合。
公理2：第一，根据上述自然数集合作为正常集合序列的广义极限性质的非正常集合的定义，还可以提出自然数集合的元素个数是其正常集合序列的元素个数数列的广义极限，这个极限是非正常实数+∞；涉及符号∞的研究存在着不确定性与矛盾；事实上，根据非正常无穷大数的性质，需要知道：虽然根据无穷集合构造序列的不同，根据不定式运算法则，符号+∞表示的元素个数可以是不相同的，可以使用不定式的计算方法比较它们的不同。例如：自然数的无穷集合的元素个数可以不同。根据这个集合的不同来历的集合序列（2）、（2’）可以分别使用符号A、B表示它们的广义极限，这时依照不定式计算法则，B- A是（2’）逐项减去（2）所得无穷数列{9n}的极限为+∞；对于这个现象，需要指出：无穷集合是不能被构成的，+∞不是正常数，无穷集合元素个数为无穷大+∞的说法，不是很完善的（因为：无穷集合具有其元素永远写不完，不可构造完毕的、符号+∞不是正常的集合元素个数）；第二，关于无穷集合元素多少的比较问题,在张锦文《集合论与连续统假设浅说》伽利略问题“正整数集合{1，2，3，……}与正整数的平方数集合{1，4，9，……}那一个的元素更多一些呢？”中讲到：“集合论的创始人康托儿第一次系统地研究了无穷集合的度量问题，给出了度量集合的地基本概念：一一对应，从而正确地回答了上述问题，也就是说，如果两个集合之间能够建立一一对应，就叫做它们的个数ω是相等的”[6]；在序数与基数中张锦文又讲道“把N记作ω，ω是一个序数，……，ω是一基数，……有时，把ω记作ω0 ，…… 也可以写成阿里夫0 ”。认真分析起来，正整数的平方集合是正整数的真子集；度量无穷集合元素个数的一一对应法则，造成了违反“全体大于部分”公理的论断。根据笔者前边的论述：无穷集合都是不能将其元素构造完毕的非正常集合，它们都没有正常的元素个数。康托儿无穷序数与无穷基数是根据他的错误观点“无穷集合是完成了的整体的实无穷”提出的，不能把自然数集合N记作无穷序数ω与无穷基数阿里夫0 。
根据这个公理，理想性质的非正常集合的元素个数是一个非正常数。笔者在文献[3]中还讨论了有理数集合、实数集合元素个数，它们都是正常集合序列的广义极限性质的非正常集合，其元素个数都是非正常实数+∞，这样就解决了“连续统假设的大难题”。在无穷集合都是不能构成的极限性非正集合意义下。芝诺的“二分法悖论”、“快跑者追不上慢跑者”也都不存在了，因为：在上述无穷的概念下，线段的无穷次二等分与快跑者追赶慢跑者过程的无穷多个起点是不能构成的。总之，对于无穷集合需要有它可以被看作一种集合但又不是正常集合的辩证法的认识。