[原创]即不是等腰也不是直角，但要求三边和面积都是整数的三角形存在吗？

zmkmla

[watermark]即不是等腰也不是直角，但要求三边和面积都是整数的三角形存在吗？[/watermark]

luyuanhong

题  求：三边长是三个连续的整数，面积也是整数的三角形。

答  这样的三角形有：
（1）三边长为 3 ，4 ，5 ，三角形面积为 6 。
（2）三边长为 13 ，14 ，15 ，三角形面积为 84 。
（3）三边长为 51 ，52 ，53 ，三角形面积为 1170 。
（4）三边长为 193 ，194 ，195 ，三角形面积为 16296 。
    ……
  一般地，可以取 a = (2+√3)^n + (2-√3)^n ，n = 1,2,3,… 。
  以连续整数 a-1 ，a , a+1 为三边的三角形，面积就是一个整数，等于
            ［(2+√3)^(2n)-(2-√3)^(2n)］√3/4 。

  也可以用下列递推的方法生成这种三角形：
  a(1) = 4 ，三边长为 3 ，4 ，5 。
  a(2) = 14 ，三边长为 13 ，14 ，15 。
  a(3) = 4a(2)-a(1) = 4×14 - 4 = 52 ，三边长为 51 ，52 ，53 。
  a(4) = 4a(3)-a(2) = 4×52 - 14 = 194 ，三边长为 193 ，194 ，195 。
  a(5) = 4a(4)-a(3) = 4×194 - 52 = 724 ，三边长为 723 ，724 ，725 。
  a(6) = 4a(5)-a(4) = 4×724 - 194 = 2702 ，三边长为 2701 ，2702 ，2703 。
     ……
  a(n) = 4a(n-1)-a(n-2) ，三边长为 a(n)-1 ，a(n) ，a(n)+1 ，n = 3,4,5,… 。
  这种三角形的面积也有递推关系：
  边长为 3，4，5，面积为 s(1) = 6 。
  边长为 13，14，15，面积为 s(2) = 84 。
  边长为 51，52，53，面积为 s(3) = 14s(2)-s(1) = 14×84-6 = 1170 。
  边长为 193，194，195，面积为 s(4) = 14s(3)-s(2) = 14×1170-84 = 16296 。
  边长为 723，724，725，面积为 s(5) = 14s(4)-s(3) = 14×16296-1170 = 226974 。
    ……

  边长为 a(n)-1，a(n)，a(n)+1，面积为 s(n) = 14s(n-1)-s(n-2) ，n = 3,4,5,… 。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/06/24 10:27pm 第 1 次编辑]

下面引用由zmkmla在 2011/06/23 11:21pm 发表的内容：
即不是等腰也不是直角，但要求三边和面积都是整数的三角形存在吗？

如果不要求三边长是三个连续的整数，只要求是整数，这样的三角形就更多了。
    比如说，只要两个边长都是整数的直角三角形有一条直角边是相同的，把相同
的边并在一起，就可以得到一个边长和面积都是整数的三角形。
    例如，一个直角三角形三边长为 15 ，20 ，25 ，面积为 150 。另一个
直角三角形三边长为 15 ，8 ，17 ，面积为 60 。把它们同为 15 的两条边并
在一起，可以得到下列两个三角形：
    一个三角形边长为 25，17，20+8=28，面积为 150+60=210 ；
    一个三角形边长为 25，17，20-8=12，面积为 150-60=90 。