将 10^100 表示成二进制数后，这二进制数是几位数？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

chaoshikong

找规律，知道其结果为334位，但不知道如何证明！～

luyuanhong

题  将 10^100 表示成二进制数后，这二进制数是几位数？

解  我们知道，一个数 N ，要判断它在十进制下是几位数，可以这样做：

    对 N 取以 10 为底的对数，然后取它的首数，再加 1 ，即有

          N 在十进制下的位数 = [log10(N)]+1 。

    同样道理，一个数 N ，要判断它在二进制下是几位数，可以这样做：

    对 N 取以 2 为底的对数，然后取它的首数，再加 1 ，即有

           N 在二进制下的位数 = [log2(N)]+1 。

    又因为根据换底公式，有 log2(N)=lg(N)/lg(2) ，所以上述公式也就是

           N 在二进制下的位数 = [lg(N)/lg(2)]+1 。


例1  10 在二进制下的位数 = [lg(10)/lg(2)]+1 = [1/0.3010]+1 = [3.32…]+1 = 3+1 = 4 。


例2  100 在二进制下的位数 = [lg(100)/lg(2)]+1 = [2/0.3010]+1 = [6.64…]+1 = 6+1 = 7 。


例3  10^100 在二进制下的位数 = [lg(10^100)/lg(2)]+1 = [100/0.3010]+1 = [332.…]+1 = 332+1 = 333 。

chaoshikong

谢谢陆教授指导，我写了个程序，验算了一下，果然是333，数学真是太神奇了！~

chaoshikong

10^10=10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

chaoshikong

=(100100100100110101101001001011001010011000011011111001110101100001011001001111000010011000100110011100000101111110011100010101100111001000000100011100010000100011010011111001010101010110010010000110000100010101000001011101000111100010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000)二进制

luyuanhong

谢谢楼上 chaoshikong 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

chaoshikong

但是这个公式，计算到10^10000时，电脑验证出来二进制位为33220位，而 [10000/0.3010]+1=33223位，说明这里的log2=0.3010精度太低了。应换成log2=0.301029才行