已知 a^2+b^2=1 ，求 (a+1)(b+2) 的最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

已知a^2+b^2=1，求(a+1)(b+2)的最大值

luyuanhong

天山草

用 mathmatica 作此题。

理论表达式是：



数字解是：

{4.68175, {a->0.817183,b->0.576379}}

luyuanhong

谢谢楼上 天山草 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

angel_phoenix99

可设a=cosθ,b=sinθ,很显然最大值在闭区间(0，π/2)之间取得。
借助2倍角公式

f(θ)=(a+1)(b+2)=2(cos(θ/2))^2(2sin(θ/2)cos(θ/2)+2)
=4(tg(θ/2)+(tg(θ/2))^2+1)/(1+(tg(θ/2))^2)^2

定义t=tgθ/2，t在(0，1)闭区间内

则f(t)=4(t^2+t+1)/(1+t^2)^2

求微分并令f'(t)=0

得出2t^3+3t^2+2t-1=0

用公式法解出实数t

不比陆老师的方法简单，只是换个思路而已

angel_phoenix99

可设a=cosθ,b=sinθ,很显然最大值在闭区间(0，π/2)之间取得。
借助2倍角公式

f(θ)=(a+1)(b+2)=2(cos(θ/2))^2(2sin(θ/2)cos(θ/2)+2)
=4(tg(θ/2)+(tg(θ/2))^2+1)/(1+(tg(θ/2))^2)^2

定义t=tgθ/2，t在(0，1)闭区间内

则f(t)=4(t^2+t+1)/(1+t^2)^2

求微分并令f'(t)=0

得出2t^3+3t^2+2t-1=0

用公式法解出实数t

不比陆老师的方法简单，只是换个思路而已

angel_phoenix99

通过观察法，这个t略小于1/3
而f(1/3)=4.68