a,b＞0 ，a+2b+ab=30 ，求 ab 的最大值

luyuanhong · 发表于 2017-6-26 07:46

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

a,b＞0 ，a+2b+ab=30 ，求 ab 的最大值

angel_phoenix99 · 发表于 2017-6-26 12:11

(a+2)(b+1)=32(1)

设a=tgβ-2(β介于(arctg2,π/2))(2)
则b=32ctgβ-1(3)
ab=34-(64ctgβ+tgβ)

很显然ab最大值=34-2sqrt(64)=16(此时tgβ=8)

angel_phoenix99 · 发表于 2017-6-26 12:12

(a+2)(b+1)=32(1)

设a=tgβ-2(β介于(arctg2,π/2))(2)
则b=32ctgβ-1(3)
ab=34-(64ctgβ+tgβ)

很显然ab最大值=34-2sqrt(64)=18(此时tgβ=8)

luyuanhong · 发表于 2017-6-26 18:47

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的另一种解答：

luyucheng1 · 发表于 2017-6-26 22:02

a =（30-2b）/（b+1）
ab = -2（b+1）+34 - 32/（b+1）《 34 - 2sqr（2*32）= 18

luyuanhong · 发表于 2017-6-27 08:32

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

xfhaoym · 发表于 2017-6-27 09:09

还有一种解法

angel_phoenix99 · 发表于 2017-7-10 18:45

a+2b+ab-30=0≥2sqrt(2ab)+ab-30

定义t=sqrt(ab)
解一元二次不等式
则t≥18

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