两个难题征解（后题已解出）

zglfirst

请大家来讨论：（两）此题是否可以称为“中国式的哥德巴赫猜想”
数学无法搞假，能在纸上搞定。
（一）此题在K12网站的数学俱乐部版上，3月14日登出后，无人作出提示或解答。
（二）即使解题高手用高中三角函数、解析几何、向量、或添辅助线来证明，只能说明这是真题。
（三）如今设定“不添辅助线”这个限定条件，已发到国内各地数学网站，全无回应。如果发到国外各数学网站，也无回应，此题是否可以称为“中国式的哥德巴赫猜想。” 请大家来讨论。
两个难题征解（后题已解出）
简单平常题——难题（怪题）——世界性难题
在K12网站的数学俱乐部版上，3月14日登出一个几何题，现仍在其他版上。
已知：△ABC,∠BAC=45°⑴，AD⊥BC延线于D⑵，AD延长至F，使AF=BC⑶，
连BF与AC延线交于E。求证：AE⊥BE。
（一）简单平常题：图形简单，条件简单。
（二）难题（怪题）：此题登出后，无人作出提示或解答。许多人看了说，三个条件简单，似乎好用，但互不关联，无从下手。添线也不知从何处作。所以都说这是怪题。
（三）世界性难题：我是中学数学解题爱好者，看到这样妙题，真是喜欢，感谢设计出此题的人，真是山外有山，天外有天。我只懂点初中知识，我想解题高手，会用高中三角函数、解析几何、向量、或添出巧妙的辅助线来证明。我又想，不添辅助线也能证明吗？提出数学证明的限定条件，合不合于常规，允不允许。如果允许设定“不添辅助线”这个限定条件，此题是否是世界性难题？那么可否向国内外各数学网站发布此题，考一考国外中学数学解题爱好者，以便交流信息，探讨中学数学解题规律。
因为我看到，世界性难题“用圆规和无刻度直尺不可能三等分一任意角”，“无刻度”就是限定条件，外国人能设定，难道中国人就不能设定。我是无名小卒，我研究中学数学解题久了，也有点心得。《解题之路，自有题示。》最难的题也会露出点蛛丝马迹，总会有端倪可探。此题条件∠BAC=45°⑴特殊，很难用，必须先从用⑴下手（一般作垂直线）。另外图形明示，有三条分角线，可用《分角定理》，能快速判断和操作。
盛世、地灵、人杰
在K12网站三月廿几号的版上，又有人设计出一个堪与上题争辉的妙题。请看：
已知：直角三角形ABC，以直角边AC向上作等边△ACD,连BD，且有
∠CBD=2∠ABD。                            求解∠ABD=多少度？
此题在K12版上登了几天，可能有人作出结论，不能用初中知识解出，已从版上
删除。其实已知条件对解题有利，切入点很多，下一步也容易变化。正因如此，第一
步应如何选择，以后各步应如何配合，关系复杂，无法判断，只好暂仃。
我仍然感谢设计出此题的人。我估计此题也可称为第二个“中国式的哥德巴赫猜想。”
数学无法搞假，能在纸上搞定。谁不服，请解出。
三月三十号K12网站数学版上网友tianey已作出解答如下：
设BD交AC于E，∠ABD=α,∠CBD=2α,由(sinα/sin∠BAD)=（AD/BD）=（CD/BD）=
(sin2α/sin∠BCD)=(2sinαCOSα/sin∠BCD)→(1/sin∠BAD)=2COSα/sin∠BCD)→
sin(90°－3α+60°)×[1/sin（90°+60°）]=2COSα→sin(150°－3α)=sin∠AEB=[sin(180°-∠AEB)]
=（sin180°-90°+α）→150°－3α=90°+α→60°=4α→α=∠ABD=15°。为使读者便于阅读，稍有增减，基本思路不变。
前题的出现，在今天生活进程中，是很小很小的事，但这个很简单、很平常的初中几何题暂时能使很多人望洋兴叹，实是古今末有，能不能像一滴海水反映大海一样，反映今天的盛世、地灵、人杰。
（以前两次发贴有“连AF与AC延线交于E”，AF改为BF。谢谢！）
0739-2351089，0739-5344277。           古稀老人          张光禄        2006，3，28

白洞先生

古稀老人能对此仍有不懈追求,此乃大幸也.
不过,你写的我看不大懂.
尽请原谅.

zhzqqj

只发帖不看帖，上次你已经发过第一题了，我已经解答过了，很遗憾图形不知怎样上传上去，不过你可以作出的。

chenhaibin19

我不知道你的意思是否限定不能有高中的知识解题。因为这题的条件太少，我暂时只能想到用一次高中的余弦定理的方法解。解法如下：
   设 BC=L,CD=M,AD=N ， 因为三角形ABD是直角三角形，所以据勾股定理有
AB*AB=（L+M）*（L+M）+N*N  ， AC*AC=M*M+N*N ， 因为角BAC=45度， 然后据余弦定理并化简可得到  L*M+M*M+N*N=L*N  等价于 L*M+M*M=l*N-N*N ， 在等式两边同除M*N 就可得（L+M）：N=（L-N）：M，因为   BD=L+M，DF=L-N，所以就有 BD：AD=DF：CD ，也就是说  BD：DF=AD：CD 又因为 角BDA=角BDF=90度，  所以三角形BDF与三角形ADC相似，
所以角ACD=角AFB，又因为角EAF=角DAC，所以三角形ADC与三角形AEF相似，所以就有角ADC=角AEF=90度，  所以角AEB也为90度 ，又因为角BAC=45度，所以三角形BEA为等腰直角三角形，所以两腰BE=AE得证。[USECHGFONTE][br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 chenhaibin19 在 时添加 -=-=-=-=-

chenhaibin19

我想把题目的结果改一下，使出现一个等价命题为，  已知：△ABC,∠BAC=45°⑴，AD⊥BC延线于D⑵，AD延长至F，使AF=BC⑶，
连BF与AC延线交于E。求证：BF*EF=DF*AD （或者说ABDE共圆）