能否找到这样的对应关系f

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能否找到这样的对应关系f，满足这样的条件
①x与f(x)呈一一对应的关系；
②x是有理数时f(x)是无理数；
③x是无理数时f(x)是有理数；
若能找到这样的对应关系f请举例，若不能请说明理由

elim

这样的函数不存在。

令 E = E(0) = [0,1], 先证 E 不可数。若不然，存在 E 的元素的一个不遗漏的排列
x(1),x(2),....,x(n),...

将 E 三等分, 在所成三个闭区间中，取不含x(1)之最左者，记其为 E(1).
假定对某 n > 1,  E(1),...,E(n-1) 已取定，令 E(n) 为 E(n-1) 之不含 x(n)
的最左三分闭子区间。由此得闭区间列 E(1),E(2),E(3),...,E(n),...
E(m) 的长度为 1/3^m → 0 (m→∞). 据闭区间套定理，存在唯一的实数
λ∈ (∩ E(n)) ⊂ E, 故对每个正整数 n,  λ ≠ x(n). 这与 λ∈E = ∪{x(n)} 矛盾。

可见 I = R - Q 不可数。但 Q 可数，故不存在 Q 与 I 的一一对应。

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这个证明过程好像有点让人看不太懂呢