复数 z 满足｜z｜=1 ，求｜z^3-3z-2｜ 的最大值及此时的 z

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix99

z^3-3z-2=(z+1)^2(z-2)
乘法适用于求模
设
z=cosθ+isinθ

定义要求的模=f(θ)=(2+2cosθ)sqrt(5-4cosθ)

取平方，(f(θ))^2=(2+2cosθ)^2(5-4cosθ)≤(9/3)^3(abc≤(a+b+c)^3/3)

此时2+2cosθ=5-4cosθ，cosθ=1/2

因此最大值=3sqrt(3),此时z=1/2+sqrt(3)/2i

angel_phoenix99

z^3-3z-2=(z+1)^2(z-2)
乘法适用于求模
设
z=cosθ+isinθ

定义要求的模=f(θ)=(2+2cosθ)sqrt(5-4cosθ)

取平方，(f(θ))^2=(2+2cosθ)^2(5-4cosθ)≤(9/3)^3(abc≤(a+b+c)^3/3)

此时2+2cosθ=5-4cosθ，cosθ=1/2

因此最大值=3sqrt(3),此时z=1/2+sqrt(3)/2i

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。