求 2016^2019+2018^2019 除以 2017^2 的余数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix99

2016^2019=(2017-1)^2019
2018^2019=(2017+1)^2019
则(2016^2019+2018^2019)≡2*2017*2019≡4mod(2017^2)
(只需考虑展开后的因子低于2017^2的最后两项，而最后一位的±1又抵消)

谢芝灵

解：
2016^2019+2018^2019
= （2017-1）^2019+（2017+1）^2019      
={2017^2019-(2019)(2017^2018)+[(2019)(2018)/2](2019)(2017^2017)-...-[(2019)(2018)/2](2017^2)+(2019)(2017)-1}+{2017^2019+(2019)(2017^2018)+[(2019)(2018)/2](2019)(2017^2017)+...+[(2019)(2018)/2](2017^2)+(2019)(2017)+1}
      =2{2017^2019+[(2019)(2018)/2](2019)(2017^2017)+...+(2019)(2018)(2017)(2017^3)/6+(2019)(2017)
     =(2017)^4(整数)+2(2019)(2017)
     =(2017)^4(整数)+(2×2017+4)(2017)
     =(2017)^4(整数)+2×2017^2+4×2017
上面 除一个 2017^2后为 ：4
     

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 和 谢芝灵 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong