z^3+qz+r=0 三根满足｜z1｜^2+｜z2｜^2+｜z2｜^2=100 ，三点连成直角三角形，求斜边长

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyucheng1

问题解答

angel_phoenix99

一元三次方程，必然有一个实数或三个实数解

在此题中应该是一个实数解和两个虚数解

设z1，z2为共轭虚数

原题等价于已知以下条件
2|z1|^2+|z3|^2=100(1)
2|z1--z3|^2=|z1-z2|^2(2)
z1+z2+z3=0(3)
把(3)代入(1)

设z1，2=a±bi

原题等价于求2b的值(斜边长)
2(a^2+b^2)+4a^2=100(4)

2(9a^2+b^2)=4b^2(5)

联立(4)(5)，解出2b=5sqrt(6)

luyuanhong

谢谢楼上 luyucheng1 和 angel_phoenix99 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。