“在平面中任作一直线”可有多种做法，但实质上都是等价的

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/07/05 10:45am 发表的内容：
陆老师的结论是正确的。
我用规整的方法（而不是随机的方法）在直角坐标（做法一）和极坐标系（做法四）中分别作直线，得出的结论是：
直角坐标系中的点是均匀的，而直线是非均匀的；
极坐标系中的点是非均匀的　...

对，你作出的两张图很好，很能说明问题！

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/07/05 00:26pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/07/05 11:30am 发表的内容：
对，你作出的两张图很好，很能说明问题！

原来做的图有错误（把通过圆心的垂线也弄进去了），现已改正。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/07/05 00:08pm 发表的内容：
原来做的图有错误（把通过圆心的垂线也弄进去了），现已改正。

在“做法一”中应该有通过圆心的线，它们不是直线的垂线，而是相当于 r=0 时所作的直线，
有了这些线以后，中间显得就不是那么空了。
对于“做法四”的中心点，无法根据定义作直线，所以只能空着，即使勉强作，也只能作一条
直线，中间还是很空的。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/07/05 00:34pm 发表的内容：
在“做法一”中应该有通过圆心的线，它们不是直线的垂线，而是相当于 r=0 时所作的直线，
有了这些线以后，中间显得就不是那么空了。
对于“做法四”的中心点，无法根据定义作直线，所以只能空着，即使勉强作，　...

我又重做了两张线条密度大些的图，效果更明显了。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/07/05 04:52pm 发表的内容：
我又重做了两张线条密度大些的图，效果更明显了。

这两张图非常好！我收藏了。

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2011/07/04 00:26pm 发表的内容：
    两种做法是否“实质上等价”，并不在于它们是否“一一对应”，而在于它们是否
有相同的“均匀性”。

显然‘均匀性’差时‘随机性’就差。我们已经形象地，直觉地认识到有些‘随机模型’导致的不均匀性。但是我们必须对‘均匀性’给出一个数学的界定。
天茂的视图很好，但当点密到一定程度后，线还是会‘遍布’全部的圆从而抹杀‘不均匀性’。可见一般的‘均匀性’判别准则是有必要的。‘小圆拦截’方法这时候就很有效。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/07/06 08:37am 第 1 次编辑]

实际上，elimqiu老师早就贴出了概率怪论三个解法的“随机图”，后来陆老师也自己绘制了解法三的随机图。在这些图上，已经基本上看出了不同解法的“均匀性”。
我想，既然我们考察的是均匀性，那就把图做成规整而不是随机的，这个均匀性是不是会表现得更加明显一些呢？
下面将三个解法的“规整图”全部重新贴在一起进行比较，像素也增加了一些，这样效果也会更好一些。
由于三种解法的取点都不一样，所以各个图的稀疏也不尽相同，我们考察的只是“均匀性”。
解法一：在圆周上均匀地取了30个点，作出经过任意两点的弦：

从上面三个图中可以看出，“均匀性”最好的是解法二（P=1/2），最差的是解法三（P=1/4），解法一（P=1/3）居中。
解法四和解法五的图也准备绘制，但取点方式需要推敲，过稀和过密都不可取。尤其是解法五，既要保证取点均匀，还应该避免三点一线。不知两位老师有何妙计？

wangyangkee

天茂老师的图片如同天茂之名，如同晴夜的天空，，，

尚九天

下面引用由wangyangkee在 2011/07/06 08:42am 发表的内容：
:em05: 天茂老师的图片如同天茂之名，如同晴夜的天空，，，

:em05: 星光灿烂 ---- 望羊客。

天茂

既要均匀随机，又要避免三点一线，似乎很难办到，解法四和解法五的规整图绘制失败。