y=(x-2)/(x^2+2x-1) ，x＜1 ，求 y 的取值范围

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

y=(x-2)/(x^2+2x-1) ,  x<1  ;  求  y 範圍

圖形是長怎樣?

中国上海市

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angel_phoenix99

先求定义域，已知x<1
x^2+2x-1=0的两个零点为-1±sqrt(2)

因此在(-∞，-1-sqrt(2)∪(-1+sqrt(2)，1)之间，y<0
在(-1-sqrt(2)，-1+sqrt(2))区间y>0

limy=0(当x趋向-∞时)
limy=-∞(x从-∞逼近-1-sqrt(2)时)

现在求y的最大值和最小值
先求最大值
y=(x-2)/(x^2+2x-1)=(x-2)/((x-2)^2+6(x-2)+7)=1/((x-2)+7/(x-2)+6)

因此y≥1/(6-2sqrt(7)=(3+sqrt(7))/4(此时x=2-sqrt(7))

图形是分段:
(-∞，-1-sqrt(2)，类似1/x在(x<0)的双曲线
(-1-sqrt(2)，-1+sqrt(2)，0轴上方，最小值为(3+sqrt(7))/4的抛物线
(-1+sqrt(2)，1)，与y=-1/x(x>0)类似的双曲线

描述很累，需要画图才行

luyuanhong