如何求角平分线方程？

denglongshan

先构造三角形ABC，则O1O2相当复杂，反之亦然。

ataorj

主题在网上有个引论
比如圆O1和两线的切点与O同线
这也算是阿波罗圆LLC的一种特别做法。利用这个做法则本主题的作图是容易的

denglongshan

阿波罗尼斯圆
请用一段简单的话描述该词条，马上添加摘要。
目录
1定义
2证明
3性质
4CAD绘图中的应用
5相关知识
　　 阿波罗尼斯（Apollonius）圆，简称阿氏圆。
定义/阿波罗尼斯圆 编辑
　　在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ， 当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=[2λ/（λ^2-1）]AB。
　　归纳到一般结论
　　此时以AB中点为原点O建立直角坐标系，向量AB方向为X轴正方向，AB中垂线则为Y轴。
　　设A点为(-t,0),B点坐标（t,0）
　　圆心坐标应为（(λ^2*t+t)/(λ^2-1),0）；
　　圆方程为：(x-(λ^2*t+t)/(λ^2-1))^2+y^2=(MN/2)^2
　　(MN/2)^2=r^2=[(λ^2*t+t)/(λ^2-1)]^2-t^2
　　只需代入λ与t的具体数值即可，具体问题具体分析
证明/阿波罗尼斯圆 编辑
　　我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN=AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以ANAN+AB)=AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NM为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。
性质/阿波罗尼斯圆 编辑
　　由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：
　　设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系：
　　b^2+c^2=a^2/2+2ma^2；
　　c^2+a^2=b^2/2+2mb^2；
　　a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。
　　（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。
CAD绘图中的应用/阿波罗尼斯圆 编辑
　　阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。
　　举个例题，各尺寸如下图所示，求出线段a的长度。
　　
　　分析：其中红色的线条(即三角形与圆)都非常的容易，那么线段a与2a该如何来求呢。通过上面的定理介绍结合这两个线段1:2的关系。两线段的交点应该是阿氏圆(m：n=1:2)上的一点，并且为与已知半径为10的圆相交的那一点。
　　首先，我们先将容易的部分作出。然后将70的边通过divide命令等分为3份(因为比例为1:2)，等分点为A、B两点。
　　其次，以长70的边的两个端点为圆心，分别做半径为R与2R的两个圆(同样是为了1:2)，R任意，只要满足所作的两个圆相交即可。两圆交与C、D两点。
　　过C、A、D点通过三点画圆，所得粉色的圆即为所求阿氏圆，与半径为10的已知圆交与O点。将黄色的辅助对象删除，连接O点与长70边的两个端点，最后进行标注即可。
　　到此，a值已经求出。
相关知识/阿波罗尼斯圆 编辑
　　1.到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是阿波罗尼斯圆。
　　2.到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆。
　　3.到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是双曲线。
　　4.到两定点的距离之积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线。

互动百科的介绍

作图不难，证明困难，很多机器证明通过构图顺序来化解计算的难度，这与算法和软件能力有关。原来和天山草讨论过。

ataorj

网上没找到主题证明.只说当初证明二十几页纸.
另外,对阿波罗尼斯圆,也许有扩展,有许多种情形,比如LLC表示两直线一圆,即做和两直线一圆都相切的圆.
如果你有通过构图顺序而机器证明的软件,则我提供主题具体构图过程如下供参考:
1 做圆O
2 圆O上取3点做成三角形ABC
3 BC上取一点D,连AD
4 分别做角ADB,ADC的平分线m,n
5 做角B,C的平分线交点O'为三角形ABC内切圆心[O'到BC的投影G距离为其半径]
6 过O'做m垂线交BC于E,过E做BC垂线交m于O1做为圆心,[O1E为半径的圆O1和AD,BC,圆O都是相切的]
7 如上,过O'做n垂线交BC于F,过F做BC垂线交n于O2做为圆心,[O2F为半径的圆O2和AD,BC,圆O都是相切的]
8 求证:
[O1E为半径的圆O1和AD,BC,圆O都是相切的]
[O2F为半径的圆O2和AD,BC,圆O都是相切的]
O',O1,O2共线[等同于(O1E-O'G)/EG=(O'G-O2F)/GF]
--------
我是设A=(a,b),B=(-1,0),C=(1,0),估计主要用勾股定理就可得到其余点坐标,太繁琐放弃[比如AB中点坐标为((a-1)/2,b/2),O=(0,y),则y=(a^2+b^2-1)/(2b)].
以此得到的证明非纯几何证明,这是没办法情况下的选择
.........

ataorj

另外关于主题中提到的问题，角平分线方程，如下供参考：
等腰三角形底边取中点为顶角平分点

denglongshan

ataorj 发表于 2017-7-28 18:30
网上没找到主题证明.只说当初证明二十几页纸.
另外,对阿波罗尼斯圆,也许有扩展,有许多种情形,比如LLC表示 ...

泰博定理讨论可以参考
http://www.mathchina.com/bbs/for ... ;extra=&page=12
李涛博士的构图利于计算，不过理想的机器证明应该根据已知条件按照任何构图顺序都可以证明，例如O1可以利用圆O1满足的条件用解方程的方法得到，而不用比较复杂的构图来简化计算。停了多年，不知道Mathematica发展如何？带根号计算以前有问题。

denglongshan

欢迎ccmmjj和天山草老友加入讨论。

ataorj

ataorj 发表于 2017-7-29 02:30
网上没找到主题证明.只说当初证明二十几页纸.
另外,对阿波罗尼斯圆,也许有扩展,有许多种情形,比如LLC表示 ...

谢指出！更正了下。

denglongshan

你的O1和O2点作法错误。

泰博定理：在△ABC的边BC取一点D，圆O1和O2与三角形ABC的外接圆和直线AD,BC相切。则O1，O2与三角形ABC的内心共线。

如果改下成“在△ABC的边BC或延长线取一点D，圆O1和O2与三角形ABC的外接圆和直线AD,BC相切。则O1，O2与三角形ABC的内心共线”，可能不够严谨。