环 ，子环，单位元，零因子

cjsh

[这个贴子最后由cjsh在 2011/07/08 11:19am 第 1 次编辑] 1 有单位元1的环 ，子环------（无零因子-------交换--------整环------整数环----和子环的商群为U(m)群） Z和Z/: Z:=IntegerRing() ; Z; ZS20:=sub< Z | 20 > ; ZS20; I5 := ideal< Z | 5 >; > I5; ZQ:=quo< Z | I5 > ; ZQ; quo< Z | 5 > ; Set(ZQ); Degree(I5); Generator(I5); Integer Ring Ideal of Integer Ring generated by 20 Ideal of Integer Ring generated by 5 Residue class ring of integers modulo 5 Residue class ring of integers modulo 5 Mapping from: RngInt: Z to RngIntRes: ZQ { 0, 1, 2, 3, 4 } 1 5 2 无单位元1的环 ，子环------(无零因子---交换) 2Z,4Z,8Z..... 3 单位元1的交换环 ，交换子环 凡有限域都是 F:=FiniteField(131, 9); F; sub; Finite field of size 131^9 Finite field of size 131^3 Mapping from: GF(131^3) to FldFin: F 4 单位元1的非交换环 ，却有交换子环 四元数环，（体，斜域），复数a1+bi为其子环（域） [br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 cjsh 在 时添加 -=-=-=-=- 环同态核： F(r)=0 幂零元： a^N=0 幂等元： a^2=a 诣零根： RAD R=所有幂零元构成一理想 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 cjsh 在 时添加 -=-=-=-=- 在判断环同态时幂等元很有用

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[这个贴子最后由cjsh在 2011/07/08 00:10pm 第 2 次编辑]

5
交换环的两子环为交换环，但单位元不同例：
方阵ZN*N的子环Z5*5：
Z:=IntegerRing() ;
Z;
X := Matrix(Z, [[a,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]]);
> X;
单位元为：
X := Matrix(Z, [[1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]]);
> X;
验：
Z:=IntegerRing() ;
Z;
X := Matrix(Z, [[1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]]);
> X;
Parent(X);
X1 := Matrix(Z, [[4,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]]);
> X1;
X2 := Matrix(Z, [[3,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]]);
> X2;
X2*X eq X2;
X*X1 eq X1;
Parent(X);

Integer Ring
[1 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
Full Matrix Algebra of degree 5 over Integer Ring
[4 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
[3 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0]
true
true
Full Matrix Algebra of degree 5 over Integer Ring

单位元和上面不同,还是上面子环的扩环：
Y := Matrix(Z, [[a,0,0,0,0],[0,a,0,0,0],[0,0,a,0,0],[0,0,0,a,0],[0,0,0,0,a]]);
> Y;
S := ScalarMatrix(5, 1);
> S;
S1 := ScalarMatrix(5, 2);
> S1;
S2 := ScalarMatrix(5, 3);
> S2;
S3 := ScalarMatrix(5, 4);
> S3;
S*S1 eq S1;
S*S2 eq S2*S;
S*S3 eq S3;

S := ScalarMatrix(5, 1);
> S;
S1 := ScalarMatrix(5, 2);
> S1;
S2 := ScalarMatrix(5, 3);
> S2;
S3 := ScalarMatrix(5, 4);
> S3;
S*S1 eq S1;
S*S2 eq S2*S;
S*S3 eq S3;
[1 0 0 0 0]
[0 1 0 0 0]
[0 0 1 0 0]
[0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 1]
[2 0 0 0 0]
[0 2 0 0 0]
[0 0 2 0 0]
[0 0 0 2 0]
[0 0 0 0 2]
[3 0 0 0 0]
[0 3 0 0 0]
[0 0 3 0 0]
[0 0 0 3 0]
[0 0 0 0 3]
[4 0 0 0 0]
[0 4 0 0 0]
[0 0 4 0 0]
[0 0 0 4 0]
[0 0 0 0 4]
true
true
true

cjsh

6
交换环和其子环都无单位元
X := Matrix(Z, [[a,0,0,0,0],[a,0,0,0,0],[a,0,0,0,0],[a,0,0,0,0],[a,0,0,0,0]]);
> X;
无单位元
Y := Matrix(Z, [[a,0,0,0,0],[a,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]]);
> Y;
无单位元